Обыкновенные дифференциальные уравнения
ОглавлениеПРЕДИСЛОВИЕГЛАВА 1. МЕТОДЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ § 2. Дифференциальные уравнения первого порядка 2. Уравнения с разделяющимися переменными. 3. Однородные уравнения. 4. Линейные уравнения. 5. Уравнения в полных дифференциалах. 6. Интегрирующий множитель. 7. Уравнение Бернулли. 8. Уравнение Риккати. § 3. Линейные дифференциальные уравнения. Принцип суперпозиции 2. Принцип суперпозиции. § 4. Линейное уравнепие первого порядка с постоянными коэффициентами 2. Комплексные функции вещественного аргумента. Комплексная экспонента. § 5. Линейные однородные дифференциалыше уравнения с постоянными коэффициентами 2. Случай простых корней. 3. Случай кратных корней. 4. Уравнение Эйлера. 5. Выделение вещественных решений. § 6. Линейные однородные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами 2. Ангармонические колебания. § 7. Линейные уравнения с правой частью — квазимногочленом § 8. Линейные системы с постоянными коэффициентами. Случай простых корней § 9. Фазовая плоскость линейной системы 2. Комплексные корни. 3. Уравнение второго порядка. § 10. Линейные системы с постоянными коэффициентами. Случай кратных корней § 11. Операционное исчисление § 12. Линейные разностные уравнения ГЛАВА 2. ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА РЕШЕНИЙ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ 2. Доказательство основной теоремы при n = 1. 3. Теорема Коши. § 2. Линейные нормированные пространства § 3. Принцип сжатых отображений § 4. Лемма Адамара § 5. Доказательство основной теоремы. Теорема существования и единственности для уравнений n-го порядка 2. Дифференциальные уравнения n-го порядка. 3. Комментарии к основной теореме. 4. Продолжение решений. § 6. Гладкость решений § 7. Зависимость решений от параметров и начальных условий § 8. Обратные и неявные функции 2. Теорема о неявной функции. 3. Дифференцирование сложных функций. § 9. Зависимые и независимые функции. Криволинейные координаты 2. Кривые и поверхности. 3. Криволинейные координаты. § 10. Уравнения первого порядка, не разрешенные относительно производной 2. Особые решения. Огибающая. 3. Интегрирование уравнений вида (1). ГЛАВА 3. ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ И СИСТЕМЫ 2. Доказательство теоремы. 3. Линейное уравнение n-го порядка. § 2. Функции от матриц и однородные линейные системы с постоянными коэффициентами 2. Вычисление матричной экспоненты. 3. Функции от матриц. 4. Малые колебания механических систем. § 3. Линейная зависимость и независимость функций и вектор-функций. Определитель Вронского 2. Определитель Вронского. § 4. Формула Лиувилля § 5. Фундаментальные системы решений § 6. Неоднородные линейные системы с переменными коэффициентами § 7. Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка 2. Уравнения второго порядка. § 8. Понижение порядка линейных и нелинейных дифференциальных уравнений § 9. Нули решений однородных линейных уравнений второго порядка 2. Теорема сравнения. § 10. Элементы аналитической теории дифференциальных уравнений. Уравнение Бесселя 2. Регулярные особые точки. 3. Уравнение Бесселя. § 11. Уравнения с периодическими коэффициентами 2. Зоны устойчивости и неустойчивости. § 12. Дельта-функция и ее применения 2. Толчки. Принцип Дюамеля. 3. Периодические толчки в системах с трением. ГЛАВА 4. АВТОНОМНЫЕ СИСТЕМЫ И ТЕОРИЯ УСТОЙЧИВОСТИ 2. Векторные поля. Механическая интерпретация фазовых траекторий. § 2. Структура решений автономной системы в окрестности неособой точки § 3. Изменение фазового объема 2. Замечания о системах в трехмерном пространстве. § 4. Производная в силу системы. Первые интегралы 2. Первые интегралы. § 5. Одномерное движение частицы в потенциальном поле 2. Колебания маятника. 3. Эллиптические функции. 4. Движение частицы в поле с кубическим потенциалом. § 6. Устойчивость. Функция Ляпунова § 7. Устойчивость положения равновесия линейной системы § 8. Устойчивость по линейному приближению 2. Устойчивость по линейному приближению. 3. Неустойчивость по линейному приближению. 4. Устойчивость неавтономных систем. 5. Устойчивые многообразия решений (условная устойчивость). § 9. Двумерные автономные системы (элементы качественной теории) 2. Предельное поведение траекторий. 3. Функция последования. Автоколебания. ГЛАВА 5. УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ ПЕРВОГО ПОРЯДКА 2. Другие примеры. 3. Классификация уравнений с частными производными 1-го порядка. § 2. Интегрирование линейных и квазилинейных уравнений 2. Квазилинейные уравнения. 3. Характеристики и интегральные поверхности. § 3. Задача Коши для линейных и квазилинейных уравнений 2. Область зависимости от начальных данных. 3. Линейные уравнения со многими переменными. 4. Квазилинейные уравнения. § 4. Линейные и нелинейные волны § 5. Нелинейные уравнения 2. Задача Коши. ГЛАВА 6. ЭЛЕМЕНТЫ ВАРИАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ § 2. Функционалы в линейных нормированных пространствах 2. Линейные функционалы. 3. Первая вариация. 4. Необходимое условие экстремума. § 3. Простейшие задачи вариационного исчисления 2. Задача с одним закрепленным и с одним подвижным концом. 3. Примеры. § 4. Функционалы, зависящие от высших производных § 5. Функционалы, зависящие от вектор-функций. Принцип наименьшего действия в механике 2. Принцип наименьшего действия. § 6. Условный экстремум § 7. Задача Лагранжа § 8. Функционалы от функций многих переменных 2. Уравнение колебаний мембраны. § 9. Достаточные условия слабого экстремума 2. Квадратичные функционалы. 3. Достаточные условия слабого экстремума. § 10. Дополнительные сведения из вариационного исчисления 2. Гамильтонова форма уравнений механики. 3. Задача с подвижными концами. § 11. Принцип максимума Понтрягина 2. Необходимые условия экстремума. ГЛАВА 7. АСИМПТОТИКА РЕШЕНИЙ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ § 2. Основные оценки 2. Оценка решений. § 3. Асимптотика решений при больших значениях аргумента 2. Неосциллирующие решения. 3. Уравнения с комплексными коэффициентами. § 4. Асимптотика решений при больших значениях параметра 2. Неосциллирующие решения. 3. Двойные асимптотики. 4. Асимптотические разложения решений. § 5. Элементы теории возмущений 2. Метод Линдштедта — Пуанкаре. 3. Метод Крылова — Боголюбова. 4. Метдд осреднения. 5. Пограничный слой и метод сращивания асимптотических разложений. 6. Метод ВКБ для нелинейных уравнений. СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ |
