Обыкновенные дифференциальные уравнения

Научная библиотека

Научная библиотека

Обыкновенные дифференциальные уравнения

Федорюк М. В. Обыкновенные дифференциальные уравнения:— 2-е изд., перераб. и доп.— М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1985. — 448 с.

Книга содержит изложение основ теории обыкновенных дифференциальных уравнении, включая теорию устойчивости, и вариационное, исчисление. Значительное место уделено уравнениям с частными производными первого порядка, аналитической теории дифференциальных уравнений и асимптотике решений линейных уравнений второго порядка. В новом издании (первое издание выходило в 1980 г.) добавлены методы теории возмущений при исследовании нелинейных дифференциальных уравнений с малым параметром.

Для студентов втузов, а также для инженеров-исследователей.

Оглавление

ПРЕДИСЛОВИЕ
ГЛАВА 1. МЕТОДЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
§ 2. Дифференциальные уравнения первого порядка
2. Уравнения с разделяющимися переменными.
3. Однородные уравнения.
4. Линейные уравнения.
5. Уравнения в полных дифференциалах.
6. Интегрирующий множитель.
7. Уравнение Бернулли.
8. Уравнение Риккати.
§ 3. Линейные дифференциальные уравнения. Принцип суперпозиции
2. Принцип суперпозиции.
§ 4. Линейное уравнепие первого порядка с постоянными коэффициентами
2. Комплексные функции вещественного аргумента. Комплексная экспонента.
§ 5. Линейные однородные дифференциалыше уравнения с постоянными коэффициентами
2. Случай простых корней.
3. Случай кратных корней.
4. Уравнение Эйлера.
5. Выделение вещественных решений.
§ 6. Линейные однородные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
2. Ангармонические колебания.
§ 7. Линейные уравнения с правой частью — квазимногочленом
§ 8. Линейные системы с постоянными коэффициентами. Случай простых корней
§ 9. Фазовая плоскость линейной системы
2. Комплексные корни.
3. Уравнение второго порядка.
§ 10. Линейные системы с постоянными коэффициентами. Случай кратных корней
§ 11. Операционное исчисление
§ 12. Линейные разностные уравнения
ГЛАВА 2. ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА РЕШЕНИЙ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
2. Доказательство основной теоремы при n = 1.
3. Теорема Коши.
§ 2. Линейные нормированные пространства
§ 3. Принцип сжатых отображений
§ 4. Лемма Адамара
§ 5. Доказательство основной теоремы. Теорема существования и единственности для уравнений n-го порядка
2. Дифференциальные уравнения n-го порядка.
3. Комментарии к основной теореме.
4. Продолжение решений.
§ 6. Гладкость решений
§ 7. Зависимость решений от параметров и начальных условий
§ 8. Обратные и неявные функции
2. Теорема о неявной функции.
3. Дифференцирование сложных функций.
§ 9. Зависимые и независимые функции. Криволинейные координаты
2. Кривые и поверхности.
3. Криволинейные координаты.
§ 10. Уравнения первого порядка, не разрешенные относительно производной
2. Особые решения. Огибающая.
3. Интегрирование уравнений вида (1).
ГЛАВА 3. ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ И СИСТЕМЫ
2. Доказательство теоремы.
3. Линейное уравнение n-го порядка.
§ 2. Функции от матриц и однородные линейные системы с постоянными коэффициентами
2. Вычисление матричной экспоненты.
3. Функции от матриц.
4. Малые колебания механических систем.
§ 3. Линейная зависимость и независимость функций и вектор-функций. Определитель Вронского
2. Определитель Вронского.
§ 4. Формула Лиувилля
§ 5. Фундаментальные системы решений
§ 6. Неоднородные линейные системы с переменными коэффициентами
§ 7. Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка
2. Уравнения второго порядка.
§ 8. Понижение порядка линейных и нелинейных дифференциальных уравнений
§ 9. Нули решений однородных линейных уравнений второго порядка
2. Теорема сравнения.
§ 10. Элементы аналитической теории дифференциальных уравнений. Уравнение Бесселя
2. Регулярные особые точки.
3. Уравнение Бесселя.
§ 11. Уравнения с периодическими коэффициентами
2. Зоны устойчивости и неустойчивости.
§ 12. Дельта-функция и ее применения
2. Толчки. Принцип Дюамеля.
3. Периодические толчки в системах с трением.
ГЛАВА 4. АВТОНОМНЫЕ СИСТЕМЫ И ТЕОРИЯ УСТОЙЧИВОСТИ
2. Векторные поля. Механическая интерпретация фазовых траекторий.
§ 2. Структура решений автономной системы в окрестности неособой точки
§ 3. Изменение фазового объема
2. Замечания о системах в трехмерном пространстве.
§ 4. Производная в силу системы. Первые интегралы
2. Первые интегралы.
§ 5. Одномерное движение частицы в потенциальном поле
2. Колебания маятника.
3. Эллиптические функции.
4. Движение частицы в поле с кубическим потенциалом.
§ 6. Устойчивость. Функция Ляпунова
§ 7. Устойчивость положения равновесия линейной системы
§ 8. Устойчивость по линейному приближению
2. Устойчивость по линейному приближению.
3. Неустойчивость по линейному приближению.
4. Устойчивость неавтономных систем.
5. Устойчивые многообразия решений (условная устойчивость).
§ 9. Двумерные автономные системы (элементы качественной теории)
2. Предельное поведение траекторий.
3. Функция последования. Автоколебания.
ГЛАВА 5. УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
2. Другие примеры.
3. Классификация уравнений с частными производными 1-го порядка.
§ 2. Интегрирование линейных и квазилинейных уравнений
2. Квазилинейные уравнения.
3. Характеристики и интегральные поверхности.
§ 3. Задача Коши для линейных и квазилинейных уравнений
2. Область зависимости от начальных данных.
3. Линейные уравнения со многими переменными.
4. Квазилинейные уравнения.
§ 4. Линейные и нелинейные волны
§ 5. Нелинейные уравнения
2. Задача Коши.
ГЛАВА 6. ЭЛЕМЕНТЫ ВАРИАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
§ 2. Функционалы в линейных нормированных пространствах
2. Линейные функционалы.
3. Первая вариация.
4. Необходимое условие экстремума.
§ 3. Простейшие задачи вариационного исчисления
2. Задача с одним закрепленным и с одним подвижным концом.
3. Примеры.
§ 4. Функционалы, зависящие от высших производных
§ 5. Функционалы, зависящие от вектор-функций. Принцип наименьшего действия в механике
2. Принцип наименьшего действия.
§ 6. Условный экстремум
§ 7. Задача Лагранжа
§ 8. Функционалы от функций многих переменных
2. Уравнение колебаний мембраны.
§ 9. Достаточные условия слабого экстремума
2. Квадратичные функционалы.
3. Достаточные условия слабого экстремума.
§ 10. Дополнительные сведения из вариационного исчисления
2. Гамильтонова форма уравнений механики.
3. Задача с подвижными концами.
§ 11. Принцип максимума Понтрягина
2. Необходимые условия экстремума.
ГЛАВА 7. АСИМПТОТИКА РЕШЕНИЙ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
§ 2. Основные оценки
2. Оценка решений.
§ 3. Асимптотика решений при больших значениях аргумента
2. Неосциллирующие решения.
3. Уравнения с комплексными коэффициентами.
§ 4. Асимптотика решений при больших значениях параметра
2. Неосциллирующие решения.
3. Двойные асимптотики.
4. Асимптотические разложения решений.
§ 5. Элементы теории возмущений
2. Метод Линдштедта — Пуанкаре.
3. Метод Крылова — Боголюбова.
4. Метдд осреднения.
5. Пограничный слой и метод сращивания асимптотических разложений.
6. Метод ВКБ для нелинейных уравнений.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ