§ 5. Линейные однородные дифференциалыше уравнения с постоянными коэффициентами

1. Алгебраический характер задачи.

Рассмотрим линейное однородное дифференциальное уравнение порядка

с постоянными комплексными коэффициентами Интегрирование втого уравнения сводится к вадаче алгебры, а именно, к решению алгебраического уравнения степени.

Чтобы установить алгебраический характер задачи об интегрировании уравнения (1), рассмотрим многочлен от символа

Коэффициенты этого многочлена те же, что и в (1). Условимся обозначать

Так как то уравнение (1) можно записать в виде

Отображение переводит функцию в функцию Это отображение называется линейным дифференциальным оператором порядка с постоянными коэффициентами; будем обозначать оператор символом т. е. так же, как и многочлен (2).

Определим сумму и произведение двух дифференциальных операторов:

с постоянными коэффициентами Суммой этих операторов назовем оператор, переводящий функцию у в функцию Из известных свойств производной следует, что

Поэтому сумма операторов есть оператор

Произведением оператора на оператор называется оператор, действующий по формуле т. е. сначала вычисляется функция (результат действия оператора ), а затем к этой функции применяется оператор Покажем, что

т. е. произведение операторов не зависит от порядка сомножителей и есть оператор . Ограничимся, для простоты, операторами первого порядка: . Имеем

Точно так же (4) доказывается для операторов любых порядков.