§ 8. Понижение порядка линейных и нелинейных дифференциальных уравнений

1°. Если известно нетривиальное решение однородного линейного дифференциального уравнения, то его порядок можно понизить на единицу.

Рассмотрим уравнение

и пусть его частное решение. Сделаем подстановку

где — новая неизвестная функция. Рассматривается интервал, на котором После подстановки получится однородное линейное дифференциальное уравнение порядка относительно неизвестной функции Вычислим коэффициент при Так как

то искомый коэффициент равен

Следовательно, уравнение для имеет вид

и подстановка превращает это уравнение в уравнение порядка

Если и частное решение известно, то уравнение (1) интегрируется, так как оно сводится к линейному дифференциальному уравнению первого порядка.

2°. Если известно частное решение однородной линейной системы

из уравнений, то ее можно свести к системе из уравнения. Пусть — это решение и, для определенности . Положим

тогда получим систему

Эта система имеет решение , а потому первый столбец матрицы тождественно равен нулю. Поэтому система имеет вид

так что в правых частях нет функции Отбросив первое уравнение, получаем систему из уравнений с неизвестной функцией Если решение этой системы известно, то функция находится из уравнения

3°. Однородное линейное дифференциальное уравнение порядка можно свести к уравнению порядка (но уже нелинейному) с помощью подстановки

Имеем

так что все производные имеют вид где Р — многочлен от своих аргументов. Подставляя в (1), получаем уравнение порядка

где — многочлен от с коэффициентами, зависящими от . В частности, линейное уравнение второго порядка

с помощью подстановки (3) сводится к уравнению Риккати

4°. Если уравнение не содержит либо у, либо х, то его порядок можно понизить на единицу. Рассмотрим уравнение

не содержащее у. Введя новую неизвестную функцию получим уравнение порядка

Пусть уравнение не содержит явно х:

Снова введем неизвестную функцию Имеем

и т. д. Подставляя в (7), получим уравнение

порядка

5°. Однородные уравнения. Рассмотрим уравнение

однородное относительно т. е.

при всех . С помощью подстановки

порядок этого уравнения можно понизить на единицу. Действительно,

так что где — многочлен от своих аргументов. После подстановки в уравнение (8) можно вынести за знак функции множитель и сократить на него. Полученное уравнение не содержит функции с помощью подстановки приводится к уравнению порядка — см. 4°.

В частности, уравнение второго порядка, вида

где Р — однородный многочлен от своих аргументов, после этих подстановок приводится к виду

и интегрируется явно, если можно выразить через Отметим один класс частных решений уравнения (10): это решения вида . Здесь С — произвольная постоянная, корень уравнения

Пусть уравнение (8) однородно относительно т. е.

Сделаем подстановку тогда

Подставляя в уравнение (8) и учитывая получаем уравнение, не содержащее независимой переменной порядок которого можно понизить на единицу — см. 4°.

Пусть уравнение (8) однородно относительно т. е.

Введем новую независимую переменную и новую неизвестную функцию:

Тогда получим

и после подстановки в (8) получим уравнение, содержащее независимой переменной; далее см. 4°.

Рассмотрим уравнение (8) такое, что

Введем новую независимую переменную новую неизвестную функцию:

тогда получим

Подставляя в (8) и используя (13), получаем уравнение, не содержащее независимой переменной далее см. 4°. Пример 1. Решим уравнение

не содержащее х явно. Положим тогда

и мы получили уравнения с разделяющимися переменными

Это важное для механики уравнение будет подробнее исследовано в гл. 4, § 5.

Пример 2. Решим уравнение

Это уравнение не содержит х явно. Положим тогда и уравнение примет вид

Это уравнение с разделяющимися переменными:

Здесь С — произвольная постоянная, так как исходное уравнение имеет решение

Для вычисления интеграла сделаем подстановку

Следовательно, решения имеют вид

Интегральные кривые — циклоиды и прямые.

Пример 3. Решим уравнение

не содержащее х явно. Полагая получаем

Если то Уравнение первого порядка

сведем к однородному с помощью подстановки Порядки однородности входящих в уравнение слагаемых равны так что Полагая получаем

В этом однородном уравнении сделаем подстановку тогда получим

Кроме того, имеются решения

Впрочем, эти решения получаются из общей формулы при Выражая через у, получаем

где — произвольные постоянные.

Пример 4. Решим уравнение

Это уравнение однородно по т. е. не меняется при замене этих функций на Поэтому сделаем подстановку

получим уравнение Бернулли

Сделав подстановку (гл. 1, § 2) , получим линейное уравнение

Решения однородного уравнения равны Применяя метод вариации постоянных, найдем частное решение неоднородного уравнения:

Следовательно,

Последний интеграл выражается через элементарные функции.

Пример 5. Решим уравнение

Полагая получаем уравнение

не содержащее х явно и однородное по Воспользуемся последним свойством и сделаем подстановку

тогда получим

Здесь и ниже — произвольные постоянные. Интегрируя, получаем

Интегральные кривые при — параболы. Кроме того, имеются решения

Заметим, что исходное уравнение имеет вид

Это общее уравнение парабол, т. е. любая интегральная кривая — парабола (или прямая — случай вырождения), и уравнение любой параболы — решение данного уравнения.