§ 4. Линейное уравнепие первого порядка с постоянными коэффициентами

1. Формулы для решений.

Всякое решение уравнения

где — постоянная, имеет вид

где С — постоянная (§ 2, пример 11).

Рассмотрим линейное неоднородное уравпение первого порядка со специальной правой частью

Здесь (X — постоянная, — многочлен степени т.

Теорема 1. Уравнение (3) имеет частное решение вида

если и вида

если Здесь — многочлен степени

Доказательство. Будем искать решение уравнения (3) в виде

тогда для функции получим уравнение

Имеем

Пусть тогда функция

есть решение уравнения (7), так что уравнение (3) имеет частное решение вида (5).

Пусть будем искать решение в виде многочлена степени

с неопределенными коэффициентами

Подставляя в уравнение (7), получаем

Приравнивая слева и справа коэффициенты при последовательно находим

Так как всякое решение неоднородного уравнения (3) есть сумма решения однородного уравнения (оно имеет вид и частного решения неоднородного уравнения, то мы нашли все решения уравнения (3). Введем

Определение. Квазимногочленом называется функция вида

где — постоянные, — многочлены. Теорема 1 позволяет найти все решения уравнения

в случае, когда — квазимногочлен. Действительно, достаточно найти частные решения уравнений (что можно сделать с помощью теоремы 1); их сумма будет частным решением уравнения