2. Комплексные функции вещественного аргумента. Комплексная экспонента.

Уже в следующем параграфе нам понадобится знать решения уравнения (1) в случае, когда — комплексное число. При этом решение будет комплекснозначной функцией вещественной переменной х.

Определим экспоненту при комплексных значениях К. Если вещественно, — мнимая единица), то по формуле Эйлера имеем

Пусть где — вещественные числа. Положим по определению

Функция при вещественных К обладает следующими свойствами:

Покажем, что все эти формулы верны при комплексных значениях Докажем 1°. Пусть тогда

Следовательно,

и 2° также доказано.

Прежде чем доказывать соотношения 3° и 4°, необходимо ввести понятие производной от функции, принимающей комплексные значения. Пусть функция определена на интервале вещественной оси и принимает комплексные значения. Тогда ее можно представить в виде

где функции принимают вещественные значения.

По определению, комплекснозначная функция называется непрерывной в точке если в этой точке непрерывны функции Функция называется дифференцируемой дифференцируемой и т. д.) в точке если в этой точке дифференцируемы (дважды дифференцируемы и т. д.) функции Производные функции определяются так:

т. е. соотношение дифференцируется по обычным правилам, причем мнимая единица считается постоянной. Интеграл от функции определяется так:

Докажем 3°. Имеем

Соотношение 4° следует из 3°.

Теорема 2. Пусть — комплексные числа, — многочлен степени с комплексными коэффициентами, Тогда всякое решение уравнения (1) имеет вид (2), где С — комплексная постоянная, а уравнение (3) имеет частное решение вида (4) при и вида (5) при

Доказательство этой теоремы дословно то же, что и при вещественных

Приведем еще формулу для комплексной экспоненты:

Действительно,