§ 11. Операционное исчисление

Операционное исчисление — один из наиболее экономичных методов интегрирования линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами и пользуется большой популярностью у инженеров. Этот метод был предложен известным американским электротехником и физиком Хевисайдом. «Сначала этот символический метод был предложен без строгого обоснования: Хевисайд выражал даже некоторое пренебрежение к опасениям профессиональных математиков. Но поразительный успех метода Хевисайда заставил объяснить его с математической точки зрения, что привело к полному оправданию и дальнейшему развитию символических методов» [31].

Приведем современный вариант этого метода. Оригиналами будем называть функции такие, что:

1. непрерывна при за исключением, быть может, конечного числа точек, при

Постоянные М, а — свои для каждой функции.

Преобразованием Лапласа функций называется функция

Функцию будем называть изображением функции и будем записывать это так:

Покажем, что интеграл (1) сходится при комплексных в полуплоскости где а указано в условии 2. Имеем

так как Можно показать, что в полуплоскости функция бесконечно дифференцируема.

Выведем основные формулу операционного исчисления. При их выводе предполагается, что все рассматриваемые функции принадлежат классу оригиналов. Кроме

того, параметр выбирается настолько большим, чтобы все внеинтегральные подстановки при обращались в нуль (например, и т. д.).

1°. Линейность преобразования Лапласа. Если

— постоянные, то

Доказательство следует из линейности интеграла.

2°. Изображение производных

Пусть тогда

Применим индукцию. Пусть формула (2) доказана для Обозначим тогда

так что формула (2) доказана для

3°. Теорема запаздывания. Для любого

Действительно, так как при то, делая замену переменной получаем

По существу уже этих трех формул вполне достаточно для того, чтобы решить задачу Коши для линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами. Формула (2) — основная: она показывает, что дифференцированию оригиналов отвечает умножение

изображений на т. е. дифференциальная операция переходит в алгебраическую операцию — умножение на Это свойство преобразования Лапласа позволяет сводить решение линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами к решению алгебраических уравнений. Рассмотрим задачу Коши:

где — постоянные. Обозначим

Применяя преобразование Лапласа к уравнению (4) и используя свойства 1°, 2°, получаем

или

где — многочлены. Отсюда

Если теперь по найти то задача Коши будет решена. Остается, конечно, вопрос: как восстановить оригинал по изображению? Ответ на этот вопрос известен: имеется формула обращения для преобразования Лапласа, а именно

Интеграл берется по прямой (см. [33]).

При практическом применении операционного исчисления резко приходится пользоваться этой формулой — обычно используются готовые таблицы оригиналов и изображений. Чтобы сознательно пользоваться ими, необходимо знать, что справедлива

Теорема единственности. Оригинал по изображению восстанавливается единственным образом, с точностью до значений в точках разрыва.

Составим небольшую таблицу, которой вполне достаточно для того, чтобы решить задачу Коши для уравнения вида (4) с правой частью — квазимногочленом. Пусть целое, тогда

Из этой формулы, используя также формулы получаем таблицу:

Пример 1. Решим задачу Коши

Делая преобразование Лапласа, получаем так что

Этой функции нет в таблице, но вспомним о том, что рациональную функцию можно разложить на простейшие дроби:

По таблице находим

Вернемся к задаче Коши (4). Если правая часть уравнения есть квазимногочлен, то, как видно из таблицы

ее изображение есть рациональная функция. Поэтому изображение решения есть рациональная функция, что следует из формулы (5). Разложив эту функцию на простейшие дроби и воспользовавшись таблицей, можно решить задачу Коши (4).

Пример 2. Решим задачу Коши

Здесь постоянные. Переходя к изображениям, получаем

Здесь приходится различать два случая. Пусть со (нерезонансный случай — см. § 7, пример 1). Тогда

и по таблице находим

Если то и по таблице находим

В рассмотренных выше примерах задача Коши была поставлена при . К этому случаю можно свести задачу Коши при

для уравнения (4), если сделать замену переменной и положить Тогда получим задачу Коши:

Точно так же операционное исчисление применяется к системам линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Рассмотрим задачу Коши

для системы из уравнений

Здесь А есть постоянная (-матрица, вектор-функция с компонентами и — постоянный -вектор. Изображение вектор-функции (т. е. ее преобразование Лапласа) снова вводится по формуле (1), и свойства полностью сохраняются.

Переходя к изображениям в задаче (6), получаем

где — изображения вектор-функций . Отсюда находим изображение

и затем с помощью таблиц восстанавливаем оригинал. При практическом применении этого метода удобнее не вычислять обратную матрицу а непосредственно решать систему линейных алгебраических уравнений (7), например, методом исключения.