§ 8. Линейные системы с постоянными коэффициентами. Случай простых корней

Рассмотрим линейную однородную систему дифференциальных уравнений

где — комплексные постоянные. Запишем эту систему в матричной форме, введя -матрицу и -вектор (столбец) (знак

означает транспонирование):

Интегрирование этой системы сводится к задачам алгебры.

Напомним некоторые сведения из линейной алгебры [8, 20]. Вектор называется собственным вектором матрицы , если

Число X называется собственным значением матрицы А (отвечающим собственному вектору ) и является корнем характеристического уравнения

где I — единичная матрица.

Теорема 1. Если собственные значения матрицы А различны, то собственные векторы линейно независимы (и потому образуют базис).

Приведем другую формулировку этой теоремы: если собственные значения матрицы А различны, то существует невырожденная -матрица Т, приводящая матрицу А к диагональному виду, т. е.

Здесь — собственные значения матрицы А, а матрица (т. е. столбцы матрицы Т — собственные векторы матрицы А).

Нам понадобятся элементарные сведения о матричных функциях. Пусть есть -матрица с элементами Матрица-функция называется непрерывной (дифференцируемой, дважды дифференцируемой и т. д.) на множестве если все ее элементы непрерывны (дифференцируемы и т. д.) на множестве М. Производной матрицы-функции называется матрица, элементы которой — производпые от элементов матрицы т. е.

Лемма. Пусть есть -матрица, есть -вектор. Тогда

Таким образом, правило дифференцирования произведения матрицы-функции и вектор-функции в точности такое же, как и для произведения скалярных функций. Формула (3) проверяется непосредственно.

Теорема 2. Пусть собственные значения матрицы А различны. Тогда всякое решение системы (1) имеет вид:

где — собственные векторы матрицы А и — произвольные постоянные. Доказательство. Введем новую неизвестную вектор-функцию по формуле

где Т — матрица, приводящая матрицу А к диагональному виду (см. (2)). Подставляя (5) в (1), получаем систему

так как . Умножая обе части этой системы слева на и учитывая, что , получаем систему

В покомпонентной записи эта система имеет вид

т. e. она распадается на независимых уравнений. Все решения системы даются формулой

где — произвольные постоянные, или

где вектор, у которого компонента равна единице, а остальные компоненты равны нулю. Так как столбцы матрицы собственные векторы матрицы Л, то , подставив (6) в (5), получим (4).

Итак, алгоритм отыскания всех решений системы (1) следующий:

1°. Находим собственные значения матрицы А из характеристического уравнения

2°. Находим собственные векторы решая систем линейных алгебраических уравнений

3°. Выписываем решение по формуле (4).

Пусть все элементы матрицы А вещественны. Найдем все вещественные решения системы (1).

Лемма. Пусть А — матрица с вещественными элементами. Если ее собственный вектор, отвечающий собственному значению то X — собственное значение, которому отвечает собственный вектор .

Доказательство. По условию, . Перейдем к комплексно сопряженным величинам: Так как элементы матрицы А вещественны, то и потому

Следовательно, X — собственное значение, — собственный вектор.

Если X — вещественное собственное значение матрицы А, то собственный вектор можно взять вещественным, и мы получим вещественное решение Пусть X — комплексное собственное значение; тогда решение комплексно. Его вещественная и мнимая части — решения системы:

Система имеет также комплексно сопряженное решение которому отвечает пара вещественных решений т. е. та же, что и для у. Все вещественные решения системы получаются следующим образом. Пусть — вещественные собственные значения,

комплексные собственные значения. Всякое вещественное решение системы имеет вид

где — вещественные постоянные.

Рассмотрим неоднородную систему

Здесь — вектор-функция, компоненты которой — многочлены степени не выше чем где постоянные векторы.

1°. Нерезонансный случай. Если не есть собственное значение матрицы А, то система (7) имеет частное решение вида

где — вектор-функция, компоненты которой — многочлены степени не выше чем . При этом матрица может иметь как простые, так и кратные собственные значения.

Будем искать в виде

где неизвестные постоянные векторы. Подставляя в (7) и сокращая на получаем

Приравнивая слева и справа коэффициенты при степенях получаем

Матрица невырождена, так как не есть собственное значение матрицы , и из первого из уравнений (9) находим

Затем из второго из уравнений (9) находим

2°. Резонансный случай. Пусть — собственное значение матрицы А, и пусть собственные значения матрицы А различны. В этом случае система (7) имеет частное решение вида

где — вектор-функция, компоненты которой суть многочлены степени не выше, чем . В этом случае удобно сделать подстановку (5), тогда система (7) примет вид

где — компоненты вектор-функции Система распалась на уравнений первого порядка, частные решения которых ищутся так же, как и в § 4. Пример. Решим систему

Вначале решим однородную систему. Характеристическое уравнение имеет корни Собственный вектор определяется из системы

так что и можно взять (1,1,1). Собственный вектор определяется из системы

так что и можно взять . В качестве можно взять вектор так как матрица системы вещественна и собственные значения комплексно сопряженные. Следовательно, все решения системы имеют вид

где — произвольные комплексные постоянные.

Найдем все вещественные решения однородной системы. Имеем

Обе последние вектор-функции — решения, и всякое вещественное решение системы имеет вид

где — вещественные постоянные.

Найдем частное решение неоднородной системы. Будем искать его в виде суммы частных решений системы с правыми частями

Первое из них возьмем в виде

Подставляя в систему, получаем — матрица системы)

так что

Из этих систем находим 6, а и частное решение

Найдем второе частное решение, и притом вещественное. Характеристическое уравнение имеет корни кратности 1, и потому частное решение следует искать в виде

где — постоянные векторы. Чтобы упростить выкладки, воспользуемся тем, что Поэтому решим вначале систему с правой частью и

затем возьмем мнимую часть полученного решения. Частное решение возьмем в виде

Подставляя в систему, получаем

так что

Матрица вырождена: поскольку — собственное значение матрицы А. Ранг матрицы равен 2. Поэтому первое уравнение имеет решение определенное с точностью до числового множителя а Это число а мы найдем из условия совместности второй системы.

Система уравнений (А — И) есть

Третье уравнение можно сразу отбросить (ранг матрицы системы равен 2). Отсюда находим

Вторая система уравнений имеет вид

Выражая х через у из второго уравнения, получаем систему

Поделив первое уравнение на второе, получим уравнение для а, откуда найдем Компоненты вектора а удовлетворяют системе

Это система трех уравнений с двумя неизвестными, которая имеет бесконечно много решений, так что вектор а не определяется однозначно. Не следует этому удивляться. Исходная однородная система имеет решение вида и потому вектор а определен с точностью до

слагаемого вида Полагая получаем частное решение

Вычисляя мнимую часть этой вектор-функции, находим частное решение

Всякое вещественное решение есть сумма решения одно родпой системы и найденных выше двух частных решений