2. Неосциллирующие решения.

Рассмотрим уравнение

Теорема 2. Если условия 1°, 2° выполнены, то уравнение (6) имеет решения вида

Для функций справедливы оценки (3).

Асимптотику (7) можно дифференцировать, т. е.

где для функций имеют место оценки вида (3).

Доказывается эта теорема точно так же, как и теорема 1.

Следствие. Пусть к комплексно и лежит в области Тогда все заключения теоремы 1 остаются в силе.

Это следствие верно и в том случае, когда к лежит в области Замечание к теореме 1 справедливо и для решений, построенных в теореме 2.

Возьмем решение и положим (см. (7)), тогда Это решение при монотонно возрастает на отрезке . С ростом к при значение

экспоненциально убывает. Если же рассмотреть решение и положить , то мы получим

Это решение при монотонно убывает на отрезке 1.

Решение (соответственно заметно отлично от нуля лишь в малой (порядка окрестности точки (соответственно Эти области принято называть пограничными слоями.

Рассмотрим случай, когда — комплекснозначная функция.

Теорема 3. Пусть выполнено условие 1°, при и имеется ветвь корня такая, что

Тогда уравнение (6) имеет два решения вида (7), асимптотику которых можно дифференцировать. Для остаточных членов справедливы оценки вида (3).

Доказывается эта теорема точно так же, как и теорема 1.