§ 4. Лемма Адамара
Для дифференцируемой функции
одной переменной справедлива формула конечных приращений Лагранжа:
где точка
лежит в интервале
Докажем многомерный аналог этой формулы.
Область
в пространстве
называется выпуклой, если вместе с любыми двумя точками у эта область содержит отрезок, их соединяющий. Примеры выпуклых областей в трехмерном пространстве: параллелепипед, шар, эллипсоид. Пусть
Лемма 1. Пусть функция
непрерывно дифференцируема в выпуклой области
Если точки
то
где точка
лежит на отрезке, соединяющем точки х, у.
Доказательство. Так как область
выпукла, то она содержит отрезок
, соединяющий точки х, у. Всякая точка этого отрезка имеет вид
и на этом отрезке функция
есть функция от одной переменной
По формуле конечных приращений Лагранжа
Так как
то из (3) следует (2), где
Ввиду важности этой леммы для последующего приведем другую формулировку и другое доказательство.
Лемма 2. Если условия леммы 1 выполнены, то
где функции
непрерывны по совокупности переменных при
Доказательство. Имеем, пспользуя (4),
где функции
равны
Из этой формулы следует непрерывность функций
Лемма 3. Пусть вектор-функция
непрерывно дифференцируема в замкнутой ограниченной выпуклой области
Тогда для любых точек
где обозначено
Доказательство. Применяя формулу (2) к компоненте
получаем
так как
Из полученной оценки и определения нормы вектора (§ 2, пример 3) следует лемма.
Аналогом формулы конечных приращений Лагранжа для вектор-функций (в условиях леммы 3) служит формула
которая следует из (1). Здесь
есть
-матрица