§ 4. Лемма Адамара

Для дифференцируемой функции одной переменной справедлива формула конечных приращений Лагранжа:

где точка лежит в интервале Докажем многомерный аналог этой формулы.

Область в пространстве называется выпуклой, если вместе с любыми двумя точками у эта область содержит отрезок, их соединяющий. Примеры выпуклых областей в трехмерном пространстве: параллелепипед, шар, эллипсоид. Пусть

Лемма 1. Пусть функция непрерывно дифференцируема в выпуклой области Если точки то

где точка лежит на отрезке, соединяющем точки х, у.

Доказательство. Так как область выпукла, то она содержит отрезок , соединяющий точки х, у. Всякая точка этого отрезка имеет вид и на этом отрезке функция есть функция от одной переменной По формуле конечных приращений Лагранжа

Так как

то из (3) следует (2), где

Ввиду важности этой леммы для последующего приведем другую формулировку и другое доказательство.

Лемма 2. Если условия леммы 1 выполнены, то

где функции непрерывны по совокупности переменных при

Доказательство. Имеем, пспользуя (4),

где функции равны

Из этой формулы следует непрерывность функций

Лемма 3. Пусть вектор-функция непрерывно дифференцируема в замкнутой ограниченной выпуклой области Тогда для любых точек

где обозначено

Доказательство. Применяя формулу (2) к компоненте получаем

так как Из полученной оценки и определения нормы вектора (§ 2, пример 3) следует лемма.

Аналогом формулы конечных приращений Лагранжа для вектор-функций (в условиях леммы 3) служит формула

которая следует из (1). Здесь есть -матрица

с элементами

точки 1 лежат на отрезке, соединяющем точки х, у. Матрица-функция непрерывна при

Рассмотрим функцию , где

Лемма Ада мара. Пусть — область в пространстве выпуклая по переменным х, функция имеет в области непрерывные производные до порядка

1 включительно. Тогда существуют функции имеющие непрерывные производные по до порядка включительно, такие, что

Доказательство следует из (5), (6); в данном случае

где — производная по переменной