2. Дифференциальные уравнения n-го порядка.
Рассмотрим уравнение
порядка в нормальной форме (т. е. разрешенное относительно старшей производной):
Поставим начальные условия
Задача Коши ставится так: найти решение уравнения (8), удовлетворяющее условиям (9). Заметим, что число начальных условий равно порядку уравнения.
Теорема существования и единственности для уравнений
о порядка. Пусть функция
непрерывна вместе со всеми частными производными
в области
готеа
Тогда решение задачи Коши (8), (9) существует и единственно на некотором интервале
Доказательство проведем для простоты при
Имеем
Обозначим
тогда получим систему
которая эквивалентна исходному уравнению. Данные Коши примут вид:
Применяя основную теорему, получаем существование и единственность задачи Коши для системы (10), откуда следует теорема.
Задача. Дано уравнение
условия основной теоремы выполнены. Могут ли две различные интегральные кривые этого уравнения а) пересекаться; б) касаться?