2. Дифференциальные уравнения n-го порядка.

Рассмотрим уравнение порядка в нормальной форме (т. е. разрешенное относительно старшей производной):

Поставим начальные условия

Задача Коши ставится так: найти решение уравнения (8), удовлетворяющее условиям (9). Заметим, что число начальных условий равно порядку уравнения.

Теорема существования и единственности для уравнений о порядка. Пусть функция непрерывна вместе со всеми частными производными в области готеа Тогда решение задачи Коши (8), (9) существует и единственно на некотором интервале

Доказательство проведем для простоты при Имеем

Обозначим тогда получим систему

которая эквивалентна исходному уравнению. Данные Коши примут вид:

Применяя основную теорему, получаем существование и единственность задачи Коши для системы (10), откуда следует теорема.

Задача. Дано уравнение условия основной теоремы выполнены. Могут ли две различные интегральные кривые этого уравнения а) пересекаться; б) касаться?