§ 5. Функционалы, зависящие от вектор-функций. Принцип наименьшего действия в механике

Рассмотрим функционал

где

Предположение. Функция дважды непрерывно дифференцируема по совокупности переменных в области

Рассмотрим задачу с закрепленными концами:

где — заданные -векторы. Будем искать

экстре мумы функционала (1) в классе вектор-фуикций, которые непрерывно дифференцируемы на отрезке и удовлетворяют краевым условиям (2). Допустимые приращения это вектор-функции, непрерывно дифференцируемые на отрезке и удовлетворяющие краевым условиям

Теорема. Для того чтобы вектор-функция была экстремалью функционала при условиях (2), необходимо, чтобы она удовлетворяла системе уравнений Эйлера

Доказательство. Пусть есть экстремаль. Рассмотрим функционал на вектор-функциях вида (все компоненты, кроме совпадают с компонентами экстремали ). Тогда получим функционал, зависящий от одной неизвестной функции

и задачу с закрепленными концами:

Пусть — точка минимума функционала для определенности. Тогда функционал достигает наименьшего значения при , в силу теоремы 1, § 3,

в точке Так как можно выбрать любым, то экстремаль удовлетворяет системе уравнений (4).

Задача 1. Доказать формулу для первой вариации функционала

Задача 2. Пусть функция не зависит от Проверить, что функция

есть первый интеграл системы (4).