2. Доказательство основной теоремы при n = 1.

Рас смотрим задачу Коши для одиого уравнения:

Заменим ее эквивалентным интегральным уравнением

Применим метод последовательных приближений. Положим

Последовательные приближения имеют вид

Пример. Задача Коши

имеет решение Эта задача эквивалентна интегральному уравнению

Вычислим последовательные приближения:

Мы видим, что последовательные приближения — это отрезки ряда Тейлора функции так что последовательные

приближения равномерно сходятся к решению на любом конечном отрезке.

Рис. 11.

Докажем, что последовательность равномерно сходится к некоторой функции на отрезке если достаточно мало. Пусть П — прямоугольник лежащий внутри области и П — меньший прямоугольник (рис. 11).

Обозначим

Пусть М — множество всех непрерывных при функций графики которых лежат в прямоугольнике при

1°. Если то . Действительно, функция непрерывна при и

2°. Пусть функции и , где Тогда

Имеем

(мы применили формулу конечных приращений Лагранжа; точка лежит на интервале

откуда следует (8).

Рассмотрим ряд

Его частичные суммы равны так что сходимость этого ряда эквивалентна сходимости последовательности Имеем в силу 1°, 2°

и докажем по индукции, что при

При это неравенство доказано, совершим переход по индукции от . Используя неравенства (8), (10), получаем

и (10) доказано. Ряд (9) равномерно сходится на отрезке I (по признаку Вейерштрасса), так как модули членов ряда не превосходят членов убывающей геометрической прогрессии со знаменателем см. (10).

Итак, последовательность равномерно сходится к функции на отрезке и предельная функция непрерывна при Поэтому в соотношении

можно перейти к пределу под знаком интеграла, так что предельная функция удовлетворяет интегральному уравнению (6). Тем самым доказано существование решения задачи Коши.

Докажем единственность. Допустим, что интегральное уравнение (6) имеет два решения определенные при тогда

Применяя оценку (8), получаем

Так как то и поэтому