§ 3. Принцип сжатых отображений

Рассмотрим уравнение

Здесь — банахово пространство, и А — оператор, действующий в В (т. е. переводящий элементы из В в элементы из В). Метод последовательных приближений, применительно к уравнению (1), заключается в следующем. Возьмем произвольную точку и составим последовательность:

Элементы называются последовательными

приближениями. Допустим, что последовательность сходится к и что оператор А таков, что можно переходить к пределу под знаком оператора. Тогда, переходя к пределу при в равенстве

получаем, что . В этом случае решение уравнения (1) существует и находится с помощью последовательных приближений.

Приведем достаточные условия сходимости этого метода. Введем

Определение. Пусть М — множество в банаховом пространстве В. Оператор А, определенный на М, сжимает Ы, если

1) (т. е. для любого имеем ).

2) Существует такое, что

для любых .

Пример 1 . В - плоскость

Оператор А сжимает множество Геометрический смысл сжимающего оператора А следующий: А уменьшает расстояние между точками — см. (2).

Теорема 1 (принцип сжатых отображений). Пусть М — замкнутое ограниченное множество в банаховом пространстве В. Пусть оператор А сжимает М. Тогда уравнение

имеет решение , и притом единственное.

Доказательство. Применим к уравнению (1) метод последовательных приближений. Возьмем любую точку и построим последовательные приближения:

Так как , то все .

Докажем, что последовательность сходится. Сходимость ее эквивалентна сходимости ряда

Так как множество М ограничено, то существует такое, что для любого , Докажем по индукции, что

При это верно, и если верно для то

что и доказывает (4). Итак, существует и так как М замкнуто.

Докажем, что

тогда, переходя к пределу при в равенстве получим, что является решением уравнения (1). Имеем

при и (5) доказано.

Докажем, что решение уравнения (1) единственно. Допустим, что являются решениями. Тогда откуда

и так как то Теорема доказана.

Рис. 12.

Геометрическая интерпретация принципа сжатых отображений такова. Пусть В — плоскость, замкнутое ограниченное множество на плоскости (рис. 12). Пусть А сжимает М. Если — диаметр М, то диаметр множества будет и Аналогично, диаметр множества будет Мы получаем последовательность замкнутых, ограниченных и вложенных друг в друга множеств

диаметры которых стремятся к нулю. По известной теореме анализа эта последовательность имеет ровно одну точку принадлежащую всем множествам — и эта точка является решением уравнения (1).

Рассмотрим один важный вариант принципа сжатых отображений. Пусть оператор А определен на всем банаховом пространстве В. Оператор А называется линейным, если

для любых элементов и для любых чисел Норма оператора А определяется формулой

Оператор А называется ограниченным, если Ниже мы рассматриваем только линейные ограниченные операторы. Из определения нормы (6) следует неравенство

где — любой элемент пространства В.

Суммой операторов А и А называется оператор, действующий по формуле

Если а — число, то оператор а А, по определению, действует по формуле

Произведением операторов называется оператор, действующий по формуле

Непосредственно проверяется, что если А и А — линейные операторы, то (а — число), — линейные операторы. Покажем, что норма оператора (6) удовлетворяет всем аксиомам нормы (§ 2, определение 1).

Лемма. Пусть — ограниченные линейные операторы, действующие в банаховом пространстве В. Тогда

Здесь а — число.

Доказательство. Первое из этих соотношений непосредственно вытекает из определения нормы; докажем

второе. Пусть тогда, в силу (7),

так что

Аналогично, дважды применяя неравенство (7), получаем

что доказывает последнее из соотношений (8).

Пусть — ограниченный линейный оператор. Введем степени этого оператора:

Следствие. Справедлива оценка

Действительно, для любого элемента имеем

и по индукции получаем откуда следует (9).

Пример 2. Пусть А — линейный оператор в пространстве с матрицей Норму вектора определим так же, как и в § 2, пример Тогда

Действительно, так как при всех k, то

так что где определена формулой (10). Построим вектор такойл что

тем самым формула (10) будет доказана. Пусть максимум правой части (10) достигается при Положим если в противном случае; тогда

(штрих означает, что слагаемые опущены), так что и (10) доказано.

Обозначим символом 1 единичный оператор, действующий в банаховом пространстве В по формуле Этот оператор линеен и

Теорема 2. Пусть А — линейный оператор, действующий в банаховом пространстве В, и

Тогда уравнение

для любого элемента имеет, и притом единственное, решение .

Доказательство. Применим метод последовательных приближений, полагая

так что

Покажем, что решение уравнения (12) равно

Из оценки (7) и условия следует, что

так что ряд (14) сходится, а потому последовательность частичных сумм этого ряда сходится к Далее,

так что при Переходя к пределу при в тождестве получаем, что Ф есть решение уравнения (12).

Докажем единственность решения. Если — решения уравнения (12), то, в силу линейности оператора

А, имеем

Следовательно,

и так как

Если — векторы -мерного пространства и -матрица, то решение уравнения (12) записывается в виде

Это обозначение сохраняется и для банаховых пространств; символом обозначается оператор, отображающий элемент в элемент . В условиях теоремы имеет место

Следствие. Оператор линеен, и справедлива оценка

Действительно, если

то элемент (здесь — числа) есть решение уравнения

так что

и линейность оператора доказана. Из оценки (15) следует, что

для любого элемента , откуда следует (17). Ряд

дающий решение уравнения (12), называется рядом Неймана. Оператор называется резольвентой уравнения (12). Резольвента (в условиях теоремы) представима рядом

сходящимся по норме. Для резольвенты имеет место тождество Гильберта

Чтобы доказать его, подставим в уравнение (12) выражение тогда получим

откуда и следует (19).