Главная > Обыкновенные дифференциальные уравнения
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
409
410
411
412
413
414
415
416
417
418
419
420
421
422
423
424
425
426
427
428
429
430
431
432
433
434
435
436
437
438
439
440
441
442
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

§ 3. Принцип сжатых отображений

Рассмотрим уравнение

Здесь — банахово пространство, и А — оператор, действующий в В (т. е. переводящий элементы из В в элементы из В). Метод последовательных приближений, применительно к уравнению (1), заключается в следующем. Возьмем произвольную точку и составим последовательность:

Элементы называются последовательными

приближениями. Допустим, что последовательность сходится к и что оператор А таков, что можно переходить к пределу под знаком оператора. Тогда, переходя к пределу при в равенстве

получаем, что . В этом случае решение уравнения (1) существует и находится с помощью последовательных приближений.

Приведем достаточные условия сходимости этого метода. Введем

Определение. Пусть М — множество в банаховом пространстве В. Оператор А, определенный на М, сжимает Ы, если

1) (т. е. для любого имеем ).

2) Существует такое, что

для любых .

Пример 1 . В - плоскость

Оператор А сжимает множество Геометрический смысл сжимающего оператора А следующий: А уменьшает расстояние между точками — см. (2).

Теорема 1 (принцип сжатых отображений). Пусть М — замкнутое ограниченное множество в банаховом пространстве В. Пусть оператор А сжимает М. Тогда уравнение

имеет решение , и притом единственное.

Доказательство. Применим к уравнению (1) метод последовательных приближений. Возьмем любую точку и построим последовательные приближения:

Так как , то все .

Докажем, что последовательность сходится. Сходимость ее эквивалентна сходимости ряда

Так как множество М ограничено, то существует такое, что для любого , Докажем по индукции, что

При это верно, и если верно для то

что и доказывает (4). Итак, существует и так как М замкнуто.

Докажем, что

тогда, переходя к пределу при в равенстве получим, что является решением уравнения (1). Имеем

при и (5) доказано.

Докажем, что решение уравнения (1) единственно. Допустим, что являются решениями. Тогда откуда

и так как то Теорема доказана.

Рис. 12.

Геометрическая интерпретация принципа сжатых отображений такова. Пусть В — плоскость, замкнутое ограниченное множество на плоскости (рис. 12). Пусть А сжимает М. Если диаметр М, то диаметр множества будет и Аналогично, диаметр множества будет Мы получаем последовательность замкнутых, ограниченных и вложенных друг в друга множеств

диаметры которых стремятся к нулю. По известной теореме анализа эта последовательность имеет ровно одну точку принадлежащую всем множествам — и эта точка является решением уравнения (1).

Рассмотрим один важный вариант принципа сжатых отображений. Пусть оператор А определен на всем банаховом пространстве В. Оператор А называется линейным, если

для любых элементов и для любых чисел Норма оператора А определяется формулой

Оператор А называется ограниченным, если Ниже мы рассматриваем только линейные ограниченные операторы. Из определения нормы (6) следует неравенство

где — любой элемент пространства В.

Суммой операторов А и А называется оператор, действующий по формуле

Если а — число, то оператор а А, по определению, действует по формуле

Произведением операторов называется оператор, действующий по формуле

Непосредственно проверяется, что если А и А — линейные операторы, то (а — число), — линейные операторы. Покажем, что норма оператора (6) удовлетворяет всем аксиомам нормы (§ 2, определение 1).

Лемма. Пусть — ограниченные линейные операторы, действующие в банаховом пространстве В. Тогда

Здесь а — число.

Доказательство. Первое из этих соотношений непосредственно вытекает из определения нормы; докажем

второе. Пусть тогда, в силу (7),

так что

Аналогично, дважды применяя неравенство (7), получаем

что доказывает последнее из соотношений (8).

Пусть — ограниченный линейный оператор. Введем степени этого оператора:

Следствие. Справедлива оценка

Действительно, для любого элемента имеем

и по индукции получаем откуда следует (9).

Пример 2. Пусть А — линейный оператор в пространстве с матрицей Норму вектора определим так же, как и в § 2, пример Тогда

Действительно, так как при всех k, то

так что где определена формулой (10). Построим вектор такойл что

тем самым формула (10) будет доказана. Пусть максимум правой части (10) достигается при Положим если в противном случае; тогда

(штрих означает, что слагаемые опущены), так что и (10) доказано.

Обозначим символом 1 единичный оператор, действующий в банаховом пространстве В по формуле Этот оператор линеен и

Теорема 2. Пусть А — линейный оператор, действующий в банаховом пространстве В, и

Тогда уравнение

для любого элемента имеет, и притом единственное, решение .

Доказательство. Применим метод последовательных приближений, полагая

так что

Покажем, что решение уравнения (12) равно

Из оценки (7) и условия следует, что

так что ряд (14) сходится, а потому последовательность частичных сумм этого ряда сходится к Далее,

так что при Переходя к пределу при в тождестве получаем, что Ф есть решение уравнения (12).

Докажем единственность решения. Если — решения уравнения (12), то, в силу линейности оператора

А, имеем

Следовательно,

и так как

Если — векторы -мерного пространства и -матрица, то решение уравнения (12) записывается в виде

Это обозначение сохраняется и для банаховых пространств; символом обозначается оператор, отображающий элемент в элемент . В условиях теоремы имеет место

Следствие. Оператор линеен, и справедлива оценка

Действительно, если

то элемент (здесь — числа) есть решение уравнения

так что

и линейность оператора доказана. Из оценки (15) следует, что

для любого элемента , откуда следует (17). Ряд

дающий решение уравнения (12), называется рядом Неймана. Оператор называется резольвентой уравнения (12). Резольвента (в условиях теоремы) представима рядом

сходящимся по норме. Для резольвенты имеет место тождество Гильберта

Чтобы доказать его, подставим в уравнение (12) выражение тогда получим

откуда и следует (19).

1
Оглавление
email@scask.ru