4. Асимптотические разложения решений.

Рассмотрим уравнения (1), (6) на конечном отрезке .

Предположение. Функция бесконечно дифференцируема и строго положительна при

В этом случае для решений можно получить более точные асимптотические формулы. Продолжим построения § 1. Решение уравнения (6) будем искать в виде формального ряда (§ Из формулы (4), § 1 следует формальное равенство

Полагая и приравнивая нулю коэффициенты при степенях к в левой части этого равенства, получаем рекуррентную систему уравнений относительно неизвестных функций

Из этой системы можно последовательно найти в частности, функции были вычислены в § 1.

Теорема 6. Для любого целого уравнение (6) имеет решения вида

Для функций справедливы оценки вида (3). Асимптотику решений можно дифференцировать по х и по к любое число раз.

Доказательство проводится по той же схеме, что и доказательство теоремы 1, § 2.

Разложения (16) можно записать в иной форме. Именно, если разложить по степеням экспоненту, содержащуюся в решении и отправить в остаточный член слагаемые порядка то асимптотика этого решения примет вид

Аналогичное представление справедливо и для решения .

Решение уравнения (1) будем искать в виде

где Тогда для функций снова получим рекуррентные соотношения (15).

Теорема любого целого уравнение (1) имеет решения вида

Для функций справедливы оценки (3). Асимптотику решений можно дифференцировать и по к любое число раз.

Дальнейшие сведения об асимптотике решений обыкновенных дифференциальных уравнений и систем читатель сможет найти в [51].