§ 9. Фазовая плоскость линейной системы

1. Вещественные корни.

Рассмотрим однородную линейную систему из двух уравнений

с постоянными вещественными коэффициентами Пусть вещественное решение системы (1); тогда уравнения

определяет кривую на плоскости Эта кривая называется фазовой траекторией системы (1), а картина, которую образуют фазовые траектории, носит название: фазовый портрет системы (1). Одна из фазовых траекторий легко находится: система (1) имеет решение и фазовая траектория — точка . Эта точка называется точкой покоя (или положением равновесия) системы (1).

Так как система (1) интегрируется, то можно построить ее фазовый портрет. Пусть А — собственные

значения матрицы системы (1), т. е. корни уравнения

Коэффициенты этого квадратного уравнения вещественны; поэтому возможны 2 варианта:

1°. Корни — вещественны.

2°. Корни — комплексно сопряженные:

Мы рассмотрим

Основной случай. Собственные значения матрицы А различны и отличны от нуля.

Пусть оба корня вещественны. Тогда собственные векторы матрицы А можно взять вещественными, и всякое вещественное решение системы (1) имеет вид

где — постоянные. Векторы образуют базис на плоскости. Пусть — координаты вектора в этом базисе, тогда

Достаточно построить фазовые траектории только в первом квадранте: так как в силу (3), фазовый портрет симметричен относительно координатных осей.

I. Числа одного знака.

Рис. 7.

При получаем точку покоя . Если то фазовая траектория — ось если — ось Стрелки на рисунке показывают направление, в котором движется точка с ростом Пусть тогда , так что фазовая траектория — неограниченная кривая, входящая в начало координат при (рис. 7). Если то

так что фазовая траектория касается оси в начале координат (и оси если

Уравнение фазовой траектории можно также записать в виде

(для этого достаточно возвести первое из уравнений (3) в степень второе — в степень откуда видно, что фазовые траектории имеют вид «парабол».

Изображенная на рис. 7 картина называется устойчивым узлом (устойчивый — потому, что точка стремится к точке покоя при ).

Фазовый портрет системы точно такой же, как и на рис. 8, только все стрелки направлены от начала координат. Такая картина называется неустойчивым узлом.

II. Числа разных знаков (седло).

Рис. 8.

Пусть для определенности При имеем при а при имеем при

Полученные 4 луча называются «усами» седла (еще 2 луча получаем при

Если то при и траектории имеют вид «гипербол» (рис. 8). Такая картина называется седлом.