4. Продолжение решений.

Пусть решение задачи Коши (7), определенное на некотором интервале Это решение может быть продолжено, вообще

говоря, на больший интервал времени. Решение называется продолжением решения если оно определено на большем интервале и совпадает с при

Решение называется неограниченно продолжаемым (неограниченно продолжаемым вперед или назад), если его можно продолжить на всю ось (на полуось или соответственно). Пусть Г — граница области Решение называется продолжаемым вперед до границы Г, если существует его продолжение , определенное на конечном интервале и такое, что точки вида при близких к не содержатся ни в каком компактном подмножестве области Аналогично определяется продолжаемость решения назад вплоть до границы Г.

Теорема о продолжении решений. Пусть в области в пространстве для системы (7) выполнены условия основной теоремы. Тогда всякое решение этой системы продолжается вперед (назад) либо неограниченно, либо вплоть до границы Г, и это продолжение единственно.

Доказательство см. в [4, 41].

Поясним понятие «продолжаемость вперед до границы» на примере одного уравнения

Пусть — описанное выше продолжение этого решения, определенное при Имеются три логические возможности:

1. существует и конечен.

3. не существует.

В первом случае и предельная точка интегральной кривой лежит на границе. Этот случай реализуется, например, для уравнения — прямоугольник вида Второй случай реализуется для уравнения (гл. 1, § 2). В третьем случае поведение интегральной кривой вблизи границы Г носит более сложный характер; приведем пример. Функция удовлетворяет уравнению в области и

условия основной теоремы выполнены. Предел не существует, а множество предельных точек интегральной кривой заполняет отрезок лежащий на границе Г.