4. Квазилинейные уравнения.

Рассмотрим уравнение

Характеристическая система имеет вид

и характеристики — кривые в пространстве. Задача Коши ставится точно так же, как и для линейного уравнения:

Предположения те же, что и в функции с непрерывно дифференцируемы в некоторой области в пространстве и в области

Теорема 3. Пусть кривая у не касается проекций характеристик на плоскость Тогда решение задачи Коши (13), (15) существует и единственно в некоторой окрестности кривой у.

Доказательство во многом аналогично доказательству теоремы 1. Пусть Г — кривая: Проведем через каждую точку кривой Г характеристику; образованная ими поверхность будет интегральной поверхностью. Чтобы доказать это, необходимо проверить, что поверхность

1) задается уравнением где - гладкая функция;

2) является интегральной поверхностью.

Пусть свойство 1) выполнено, тогда поверхность в каждой точке имеет касательную плоскость Вектор лежит в плоскости так как он касается характеристики, проходящей через точку Р. Поэтому вектор ортогонален вектору направленному по нормали к в точке Р. Так как в

качестве можно веять вектор в точке Р

и уравнение (13) выполняется.

Докажем 1). Решение

задачи Коши

для системы (14) определяет характеристику При якобиан

так как не касается проекций характеристик на плоскость Поэтому из первых двух соотношений (16) можно выразить через х, у как гладкие функции (в окрестности 7), так что будет гладкой функцией переменных х, у.