. Как известно из математического анализа, вектор 
касается этой кривой в точке 
так что вектор 
касается фазовой траектории (в точке 
). Это же рассуждение справедливо и в 
-мерном пространстве. Исключение составляет, разумеется, случай, когда фазовая траектория состоит из одной точки — положения равновесия.
Точки векторного поля 
в которых вектор 
— нулевой, называются критическими (или особыми) точками векторного поля. Таким образом, положения равновесия системы (1) — это критические точки векторного поля 
Векторное поле устроено просто в малой окрестности любой некритической точки. Действительно, если 
то 
при х, близких к а, т. е. векторы в близких 
точках имеют примерно ту же длину и то же направление, что и вектор 
Столь же просто устроены фазовые траектории вблизи точки, отличной от положения равновесия. Если точка а — критическая, то длина 
вектора 
стремится к нулю при 
Направление же вектора 
при х близких к а, может меняться весьма произвольно, и даже при 
(т. е. на плоскости) структура векторного поля (и соответствующих фазовых траекторий) может быть очень сложной.
Рис. 22.
С автономной системой (1) связано еще одно важное понятие — фазовый поток 
Вначале приведем пояснения. Возьмем любую точку х из области 
выпустим из нее фазовую траекторию и сдвинем точку вдоль траектории за время 
Полученную точку обозначим 
Тем самым определено отображение 
(каждая точка х области 
отображается в точку 
лежащую в области 
Если 
— подобласть области 
то тем самым определено отображение 
т. е. каждая точка 
переходит при этом в точку 
(рис. 22). Область 
при таком отображении деформируется; в § 2 будет показано, как при такой деформации изменяется объем области 
Строгое определение отображения 
таково. Пусть 
— решение задачи Коши х для системы (1). Тогда
Из свойств 6°, 7° вытекают следующие групповые свойства отображения 
где 
— тождественное отображение: 
для любой точки 
Первое из соотношений (6) означает, что 
для любой точки 
и если переписать его с помощью (5), то мы получим первое из соотношений 6°. Множество преобразований, зависящих от одного вещественного параметра 
и обладающего свойствами (6), называется однопараметрической группой преобразований; подробнее см. [3].
Приведем одну 
физических интерпретаций автономной системы (1). Рассмотрим установившееся (стационарное) течение жидкости в трехмерном пространстве 
Это течение характеризуется тем, что частица жидкости в тот момент времени, в который она проходит через точку 
имеет скорость 
Эта скорость зависит только от точки х, но не от времени: если другая частица в другой момент времени пройдет через точку х, то мгновенная скорость в этой точке будет той же. Тем самым в пространстве задано векторное поле — поле скоростей 
и соответствующая автономная система, описывающая движение частиц жидкости, имеет вид
Фазовые траектории называются в этом случае линиями тока; это кривые, по которым движутся (текут) частицы жидкости. Термин «фазовый поток» при такой гидромеханической интерпретации также становится абсолютно прозрачным.
Рис. 23.
Введем понятие трубки тока. Возьмем в трехмерном пространстве площадку 
(т. е. поверхность), которая не касается ни в одной точке векторов поля скоростей, и выпустим из нее линии тока. Множество, которое они заполнят, и называется трубкой тока (рис. 23).
Точно так же и в 
-мерном пространстве векторное поле 
(см. (1)) можно интерпретировать как поле скоростей, фазовые траектории — как линии тока, и можно ввести понятие трубки траекторий (трубки тока).
задан 
-вектор 
Тогда говорят, что в области 
задано векторное поле. Автономная система (1) полностью определяется заданием векторного поля 
Говорят, что кривая принадлежит векторному полю, если она в каждой своей точке касается вектору из этого векторного поля (рис. 21), Согласно этому определению фазовые траектории автономной системы (1) принадлежат векторному полю 
Действительно, пусть 
— решение системы (1), определенное при 
Пусть 
уравнения 
определяют кривую (фазовую траекторию) на плоскости
