§ 4. Функционалы, зависящие от высших производных
Рассмотрим функционал вида 
и задачу с закрепленными концами:
Предположение. Функция 
и раз непрерывно дифференцируема по совокупности переменных, если
Выведем формулу для первой вариации функционала (1). Имеем
гда 
, если 
на отрезке 
Следовательно,
Допустимые приращения 
это функции, 
раз непрерывно дифференцируемые на отрезке 
и
удовлетворяющие, в силу (2), краевым условиям
Интегрируя по частям и учитывая краевые условия (3), получаем
при 
Поэтому первая вариация имеет вид
Пусть 
— экстремаль задачи (1), (2), тогда 
для любых допустимых приращений 
Из (4) и основной леммы вариационного исчисления вытекает уравнение Эйлера
Значения всех производных функции 
берутся в точке 
Следовательно, экстремаль 
должна удовлетворять уравнению Эйлера (5) и краевым условиям (2).
