4. Линейные уравнения.

Уравнение вида

называется линейным неоднородным уравнением. Уравнение вида

называется линейным однородным уравнением. Будем предполагать, что функции Их) непрерывны на некотором интервале

Уравнение (13) есть уравнение с разделяющимися переменными. Имеем

и, в силу замечания 2,

где С — произвольная постоянная. Случай возможен, так как уравнение (13) имеет решение Чтобы решить неоднородное уравнение (12), применим метод вариации постоянных. Будем искать решение в виде, аналогичном (14):

где — неизвестная функция. Подставляя в уравнение (13), получаем

где С — произвольная постоянная.

Следовательно, все решения уравнения (8) даются формулой

Решения линейного уравнения обладают следующим свойством. Пусть три различные решения; тогда

Рис. 4

Действительно, из формулы (15) следует, что

(вид функций ясен из (15)), откуда следует (16).

Пример 11. Всякое решение уравнения

где К — постоянная, имеет вид

Здесь С - произвольная постоянная.

Пример 12. Рассмотрим уравнение

где — полярные координаты на плоскости. Проинтегрируем это уравнение непосредственно:

где С — произвольная неотрицательная постоянная. При интегральная кривая есть окружность Далее, если то Эта кривая — спираль, которая при наматывается на окружность а при уходит на бесконечность (рис. 4). Если то эта кривая — спираль, которая при

наматывается на окружность а при входит в начало координат.

Пример 13. Решим уравнение

Это уравнение нелинейное, но если взять х в качестве независимого переменного, то уравнение становится линейным относительно неизвестной функции

Решим вначале однородное уравнение

Применим метод вариации постоянных:

так что

Пример 14. Рассмотрим уравнение

Пусть функция непрерывна при Тогда задача Коши с имеет единственное решение

Действительно, интеграл сходится абсолютно и стремится к нулю при Это позволяет применить правило Лопиталя

Любое другое решение имеет вид и экспоненциально растет при .