2. Метод Линдштедта — Пуанкаре.
Будем искать периодические решения автономного уравнения
Как было показано в 
разложения вида (3) не обладают свойством периодичности. Сущность метода Линштедта — Пуанкаре состоит в том, что вместо переменной 
вводится новая переменная
и это позволяет избавиться от вековых (секулярных) членов. Будем искать решение в виде асимптотического
ряда
где все функции 
периодичны по 
с периодом 
Переходя в уравнении (8) к переменной 
получаем
Разложим обе части этого уравнения по степеням 
и приравняем коэффициенты при одинаковых степенях е. Тогда получим рекуррентную систему уравнений, и неизвестные числа 
определятся из условия отсутствия секулярных членов.
Первое уравнение имеет вид
так что 
Зададим данные Коши
Тогда получим
Следующее уравнение имеет вид
Функция 
периодична по 
с периодом 
разложим ее в ряд Фурье
Уравнение (11) имеет периодическое решение тогда и только тогда, когда правая часть не содержит гармоник 
. Следовательно, должны выполняться условия
Из этих уравнений находим неизвестные 
В частности, начальная амплитуда а, вообще говоря, не может быть произвольной. Затем находим 
решая
уравнение (11) с данными Коши
Таким образом, чтобы найти первое приближение, необходимо рассмотреть второе приближение — это весьма типично для нелинейных задач. Ситуация повторяется и для высших приближений: чтобы найти 
приближение, необходимо рассмотреть правую часть уравнения для 
приближения. Приведем примеры.
Пример 2. Рассмотрим уравнение Дуффинга (7) с данными Коши 
тогда 
и для 
получаем уравнение
Приравнивая нулю коэффициент при 
в правой части уравнения, находим
и затем
Начальная амплитуда а может быть произвольной — это специфика данного уравнения. Найдем второе приближение. Имеем
где А, В — постоянные. Отсюда находим Таким образом,
Период колебаний 
равен
Из этой формулы видно, что период колебаний зависит от амплитуды.
Пример 3. Рассмотрим уравнение Ван дер Поля с малой нелинейностью
Первое приближение снова возьмем в виде
тогда
Секулярные члены исключаются, если
Следовательно, 
и если выбрать а положительным, то 
Таким образом, в первом приближении сдвига частоты колебаний нет, но амплитуда а определяется однозначно. Окончательно получаем
так что в первом приближении можно утверждать, что уравнение Ван дер Поля имеет предельный цикл — окружность радиуса 2 с центром в начале координат.
