Главная > Обыкновенные дифференциальные уравнения
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
409
410
411
412
413
414
415
416
417
418
419
420
421
422
423
424
425
426
427
428
429
430
431
432
433
434
435
436
437
438
439
440
441
442
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

§ 12. Дельта-функция и ее применения

1. Дельта-функция Дирака.

Эта функция — она обозначается — была введена английским физиком П. Дираком. Ее определение таково:

Дельта-функцию можно рассматривать, например, как плотность единичной массы, сосредоточенной в точке (это только одна из известных физических интерпретаций дельта-функции). Действительно, обозначим эту плотность тогда при (вся масса сосредоточена в точке , ибо масса равна единице, так что .

Разумеется, дельта-функция не есть функция в обычном смысле слова. Это обобщенная функция. Теория обобщенных функций была построена советским математиком С. Л. Соболевым и французским математиком П. Шварцем.

Основы теории обобщенных функций читатель может тйти в [15, 18]. Мы ограничимся тем, что приведем сновные формулы, относящиеся к дельта-функции, и не будем излагать строгую теорию обобщенных функций. Читатель, незнакомый с обобщенными функциями, будет находиться примерно в том же положении, в каком находились в начале нашего века инженеры, которые использовали метод Хевисайда (см. гл. 1, § 11). Впрочем, это не совсех М так: математического обоснования метода Хевисайда тогда не было, а математическое обоснование приведенных ниже результатов — теория обобщенных функций — существует.

Введем понятие обобщенной функции. Пусть К — множество всех функций которые бесконечно дифференцируемы на всей оси и финитны. Последнее означает, что каждая функция тождественно равна нулю вне некоторого отрезка: если числа — свои для каждой функции Множество К есть линейное пространство; его элементы называются основными (или пробными) функциями.

Обобщенной функцией (над пространством К) называется линейный функционал, определенный на пространстве К. Именно, каждой функции ставится в соответствие число причем

для любых основных функций и для любых чисел « От функционала требуется также непрерывность; мы не будем вводить соответствующее определение, поскольку во всех рассматриваемых примерах это свойство выполняется.

Будем употреблять обозначения, принятые в физической литературе. Именно, значение будем записывать в виде интеграла

Класс обобщенных функций содержит все «обычные» функции. Действительно, если — непрерывная на оси функция, то интеграл из (3) существует и обладает свойством линейности. Если — непрерывные на всей оси функции и

любой функции (гл. 6, § 3, основная лемма вариационного исчисления). По аналогии с этим фактом будем считать, что две обобщенные функции равны: если соотношение (4) выполняется для любой основной функции

Введем производные от обобщенных функций. Пусть — непрерывно дифференцируемая на всей оси функция, — основная функция. Интегрируя по частям,

получаем

поскольку внеинтегральная подстановка равна нулю — функция финитна. Формулу (5) примем в качестве определения обобщенной функции Заметим, что правая часть формулы (5) определена, так как — основная функция, и потому интеграл определен. Аналогично определяются высшие из водные:

Приведем основные формулы для дельта-функции и поясним их.

Здесь — непрерывная на всей оси функция. Эта формула есть определение дельта-функции.

Дельта-функцию можно представить как «предел» обычных функций.

Пусть ступенчатая функция (рис. 18):

так что

Рис. 18.

Функцию можно интерпретировать как плотность единичной массы, «размазанной» да интервал . Покажем, что

где предел понимается так:

для любой непрерывной на всей оси функции Действительно, по теореме о среднем

откуда следует (8).

Обозначим символом ступенчатую функцию Хевисайда:

Действительно, пусть — основная функция. Согласно определению (5),

(так как — финитная функция)

Поскольку первый и последний интегралы равны для любой основной функции то согласно определению равенства обобщенных функций (см. (4)).

3°. Пусть функция непрерывно дифференцируема на полуосях в точке а может иметь разрыв. Тогда

Здесь (т. е. величина скачка функции — обычная производная.

Действительно, по определению (5) имеем

(интегрируем по частям)

Последнее слагаемое равно , и формула 3° доказана.

Здесь — любая основная функция; если фиксировано, то достаточно, чтобы функция была раз непрерывно дифференцируема на оси х.

Пусть (для определенности), — непрерывная на оси х функция. Тогда

(мы сделали замену

Так как первый последний интегралы равны при любой непрерывной функции то 5° доказано.

Здесь мы ограничимся совсем уже формальным выводом. Воспользуемся формулой обращения для преобразования Фурье:

где преобразование Фурье функции

Пусть тогда подставляя это выражание в формулу обращения, получаем 6°.

7°. Пусть — гладкая функция, имеющая конечно число нулей и все нули — простые Тогда

Рассмотрим вначале случай, когда функция имеет ровно один нуль Так как при то

где может быть выбрано сколь угодно малым. Сделаем в интеграле замену переменной тогда существует обратная функция и

Действительно, числа положительны, Если то получим

так что в обоих случаях

Тем самым формула доказана при Так как при то

со доказанному выше.

Формула из п. 7° верна и в том случае, когда функция имеет бесконечно много нулей, и все они изолированы. Например,

Приведем еще одну формулу, связанную с дельтафункцией. Пусть целое число, тогда

Действительно,

Формул 1° — 7° вполне достаточно для решения большинства прикладных вадач, связанных с обыкновенными дифференциальными уравнениями.

1
Оглавление
email@scask.ru