6. Интегрирующий множитель.

Если уравнение (7) является однородным уравнением в полных дифференциалах, то оно интегрируется непосредственно, без квадратур. Пусть — однородные (или положительно однородные) функции степени пусть Тогда все его решения даются формулой

Для доказательства рассмотрим функцию

Используя тождество Эйлера и условие (19), получаем

Аналогично доказывается, что Следовательно,

и формула (21) доказана.

Пример 18. Уравнение

есть однородное уравнение в полных дифференциалах (здесь Поэтому семейство решений имеет вид

где произвольная постоянная. При получаем точку , при интегральные кривые — замкнутые и содержат внутри себя точку .

Пусть уравнение (17) не является уравнением в полных дифференциалах. Тогда следует искать функцию такую, что после умножения на получается уравнение в полных дифференциалах

Функция называется интегрирующим множителем и должна удовлетворять соотношению

или, что то же,

Интегрирующий множитель всегда существует (локально), однако найти его в явном виде удается лишь в редких, но важных случаях.

Соотношение (22) есть дифференциальное уравнение с частными производными (см. гл. 5), и его интегрирование ничуть не проще, чем интегрирование исходного уравнения (18). Тем не менее, в ряде интересных случаев интегрирующий множитель удается найти.

Рассмотрим уравнение (18), где -однородные функции степени . (Случай на сей раз не исключается.) Тогда имеется интегрирующий множитель

Действительно, соотношение (22) после очевидных преобразований приводится к виду

Из тождества Эйлера следует, что обе части этого соотношения равны

Пусть интегрирующий множитель есть функция только от Тогда соотношение (22) принимает вид

так что правая часть должна зависеть от у. Если то Р — линейная функция у, и исходное уравнение (18) имеет вид

Это уравнение — линейное (см. п. 4). Интегрирующий множитель определяется из уравнения и равен

Рассмотрим уравнение

где — постоянные. Для выражения интегрирующий множитель равен так как

Функция вида

также является интегрирующим множителем, что проверяется непосредственно. Для выражения функция вида

является интегрирующим множителем. Если функции можно подобрать так, что то мы получим интегрирующий множитель исходного уравнения. Положим тогда функция будет интегрирующим множителем, если

Если то из этих уравнений можно найти и затем Если же с то исходное уравнение имеет вид

и потому интегрируется.

Пример 19. Рассмотрим уравнение

Интегрируя, получаем

где Покажем, что уравнение (23) имеет семейство решений вида

Уравнение (23) запишем в виде

Имеем

где — левая часть уравнения (23), так что

откуда следует формула (25). Функция

является интегрирующим множителем.

Уравнение (23) есть частный случай уравнения Эйлера:

где — многочлены четвертой степени. Решения уравнения Эйлера выражаются через эллиптические функции. Одна из важнейших формул теории эллиптических функций — теорема сложения — выводится непосредственно из уравнения. Покажем, как с помощью уравнения (23) можно получить формулу сложения для синуса.

Предварительно сделаем одно замечание. Пусть (18) есть уравнение в полных дифференциалах: и имеет семейство решений Если — произвольная гладкая функция, то соотношение также определяет семейство решений. Поэтому уравнение семейства решений неединственно. Пусть семейство решений уравнения (18) задается уравнениями

Тогда существует гладкая функция имеющая гладкую обратную функцию и такая, что (гл. 4, § 4)

Вернемся к соотношениям (24), (25). Имеем

Полагая получаем

Если то Следовательно,

Покажем, что семейство интегральных кривых уравнения (23) имеет вид

где С — произвольная постоянная. Эти кривые касаются четырех прямых Действительно, из уравнения (23) следует, что при при

Если избавляться от радикалов в тождестве (25) с помощью последовательного возведения в квадрат, то получится уравнение четвертой степени относительно х, у. Поэтому изберем окольный путь. Приравнивая косинус от левой и правой частей тождества (24), получаем

где С — постоянная. Перенося в правую часть и возводя обе части полученного равенства в квадрат, получаем (26).