ГЛАВА 4. АВТОНОМНЫЕ СИСТЕМЫ И ТЕОРИЯ УСТОЙЧИВОСТИ

§ 1. Автономные системы. Общие свойства

1. Автономные системы.

Всюду в этой главе независимое переменное обозначается и интерпретируется как время, неизвестные функции обозначаются

Система обыкновенных дифференциальных уравнений (или одно уравнение) называется автономной (или динамической, или консервативной), если независимое переменное явно не входит в систему.

Общий вид автономной системы из уравнений первого порядка в нормальной форме следующий:

или подробнее,

Всякую систему можно свести к автономной, если увеличить число неизвестных функций на единицу. Пусть, например, дана неавтономная система

Обозначим тогда

и мы получили автономную систему с неизвестной функцией.

Предположение. Всюду в этой главе предполагается, что вектор-функция удовлетворяет условиям основной теоремы в некоторой области а В, где координатами точки являются непрерывно дифференцируема в области G.

Все рассмотрения производятся в области

1°. Если — решение системы (1), то при Любой постоянной с вектор-функция также является решением системы (1).

Доказательство следует из формул

Пусть — решение системы (1), определенное на интервале 1. Тогда множество точек является кривой в пространстве (действительно, ), т.е. параметрические уравнения кривой). Эту кривую будем называть фазовой траекторией (или просто траекторией) системы (1), а пространство А, в котором расположены фазовые траектории — фазовым пространством автономной системы (1).

Рис. 19.

Интегральные кривые системы (1) изображаются в (-мерном пространстве с координатами Если решение системы, то интегральная кривая задается уравнениями так что соответствующая фазовая траектория является проекцией интегральной кривой на пространстве параллельно оси (рис. 49). Конечно, фазовая траектория дает меньше информации о решениях системы (1), чем интегральная кривая (которая дает полную информацию), но, тем не менее, для многих вопросов этого вполне достаточно. Примеры фазовых траекторий на плоскости были приведены в гл. 1, § 9.

2°. Две фазовые траектории либо не имеют общих точек, либо совпадают.

Доказательство. Пусть — фазовые траектории, отвечающие решениям имеют общую точку Тогда Рассмотрим вектор-функцию Она является решением системы (1), в силу свойства так что силу теоремы единственности. Поэтому т. е. кривые совпадают.

Таким образом, фазовое пространство расслаивается на непересекающиеся траектории. Для неавтономной системы это не так: проекции интегральных кривых на пространство могут пересекаться. Например, при всякая интегральная кривая проектируется на интервал оси х.

Определение. Точка а называется положением равновесия автономной системы (1), если

3°. Если а — положение равновесия, то вектор-функция является решением системы (1).

Действительно,

Отсюда следует

4°. Если а - положение равновесия; то точка есть фазовая траектория.

Положение равновесия называют также точкой покоя автономной системы; смысл этого термина ясен из 3°.

5°. Фазовая траектория, отличная от точки, есть гладкая кривая (т. е. в каждой точке имеется ненулевой касательный вектор).

Действительно, если — решение системы (1), то касательный вектор в точке равен .

В силу системы (1) этот вектор равен .

Теорема. Всякая фазовая траектория принадлежит к одному из трех типов:

1) гладкая кривая без самопересечений;

2) замкнутая гладкая кривая (цикл);

3) точка.

Если фазовая траектория, отвечающая решению гладкая замкнутая кривая, то это решение есть периодическая функция с периодом

Доказательство. Если фазовая траектория не есть точка (положение равновесия), то она является гладкой кривой, в силу гладкая кривая либо незамкнута, либо замкнута.

Пусть у — замкнутая фазовая траектория, отвечающая решению Покажем, что это решение периодично. Возьмем точку в силу 1° можно считать, что а Обозначим длину у через I. Элемент длины дуги

кривой равен

Так как — замкнутое ограниченное множество и на то функция ограничена на у снизу и сверху положительными постоянными

Пусть -дуга кривой — ее длина:

Если достаточно мало, то будет частью кривой 7, так как при Функция монотонно возрастающая функция и так как Следовательно, существует (и притом единственное) такое, что Ясно, что в противном случае дуга была бы частью кривой и ее длина была бы меньше, чем I. Следовательно, число Т есть наименьший период решения

Мы получили также формулу для периода Т: это наименьший положительный корень уравнения

где — длина кривой 7.

Установим групповые свойства решений автономной системы. Пусть — решение задачи Коши

для системы (1).

Доказательство. Вектор-функции

являются решениями системы (1), в силу 1°. При имеем

т. е. . В силу теоремы единстгенности

при всех откуда следует первое из равенств (4). Аналогично доказывается равенство первой и последней вектор-функций

Приведем еще менее формальное доказательство. Нарисуем кривую где При имеем , двигаясь по кривой время мы попадем в точку

Рис. 20.

Рис. 21.

Теперь придем в эту точку другим способом. Сначала продвинемся вдоль кривой за время, равное тогда попадем в точку Затем из этой точки продвинемся за время при этом уравнение кривой будет иметь вид так как при имеем (рис. 20). В силу единственности решения при приведем в ту же точку, что и первым способом, т. е. откуда и следует (4). Если же сначала двигаться по кривой время а затем то получим второе из равенств (4).

Из этого свойства вытекает следующее.