2. Первые интегралы.

Функция называется первым интегралом автономной системы (4), если она постоянна вдоль каждой траектории этой системы. Таким образом, если — решение системы (4), то функция и при всех

Теорема 1. Для того чтобы функция и была первым интегралом системы (4), необходимо и достаточно, чтобы она удовлетворяла соотношению

Доказательство. Пусть — первый интеграл (в некоторой области -решение системы (4). Тогда функция — постоянная, так что на этой траектории, и из (5) следует (6). Пусть соотношение (6) выполнено в области и — уравнение фазовой траектории, лежащей в области Тогда

в силу (6), т. е. и не зависит от

Замечание 2. Аналогичное утверждение верно и для неавтономной системы (1); условие (6) заменяется следующим:

Замечание 3. Условие (6) имеет простой геометрический смысл. Вектор ортогонален к гиперповерхности и из условия (6) следует, что вектор касается поверхности так как он ортогонален

вектору Поэтому фазовая траектория у, проходящая через точку лежит на гиперповерхности так что на у.

Следствие. Первые интегралы инвариантны относительно выбора системы координат.

Именно, сделаем гладкую обратимую замену переменных , тогда система (4) перейдет в систему (4). Если — первый интеграл системы (4), то функция - первый интеграл системы . Действительно, , т. е. функция удовлетворяет соотношению (6), записанному в переменных у:

Пример 1. Решения системы

даются формулами

Функции — первые интегралы этой системы. Всякий первый интеграл системы (8) есть функция, не зависящая от

В этом примере имеется независимых первых интегралов (понятие независимости функций см. гл. 2, § 9), и любой первый интеграл есть функция от них. Точно такое же утверждение, с некоторыми оговорками, справедливо для любой автономной системы.

Теорема 2. Пусть точка а не есть положение равновесия автономной системы (4). Тогда в некоторой окрестности точки а существует независимых первых интегралов и всякий первый интеграл и есть функция от них, т. е.

Доказательство. Пусть окрестность достаточно мала, тогда существует окрестность V точки и гладкая обратимая замена переменных , приводящая систему (4) к виду (8) (§ 2). Полученная система имеет независимые первые интегралы и всякий первый интеграл есть функция от них: как показано в

примере 1. При обратной замене переменных эти первые интегралы переходят в первые интегралы системы (4), которые тоже независимы (гл. 2, § Ю), перейдет в первый интеграл откуда следует (9).

Пример 2. В теореме 2 предполагается, что точка а не является положением равновесия системы (4). Это условие существенно: например, всякий первый интеграл системы

непрерывный в окрестности положения равновесия , есть тождественная постоянная. Действительно, фазовые траектории этой системы — лучи выходящие из начала координат. Первый интеграл постоянен вдоль любого такого луча и из непрерывности и в начале координат следует, что . В этом примере всякий первый интеграл имеет вид (если мы рассматриваем область, не содержащую оси можно записать первый интеграл в виде где — полярный угол.

Первый интеграл и — это некоторый закон сохранения: при движении точки вдоль фазовой траектории величина и сохраняет то же значение, что и в первоначальный момент времени. Именно из таких соображений (т. е. как законы сохранения) и были получены многие первые интегралы дифференциальных уравнений классической механики.

Пример 3. Функция Гамильтона есть первый интеграл гамильтоновой системы

Действительно, производная функции Н в силу системы равна

Функция Гамильтона — это энергия соответствующей механической системы, и тот факт, что она есть первый интеграл, выражает закон сохранения энергии.

Пример 4. Одномерное движение материальной гочки массы в потенциальном поле описывается

уравнением Ньютона

Его первый интеграл — это функция которая постоянна при , где — решение. Умножив обе части уравнения на , получим

так что

где Е — постоянная. Левая часть этого равенства — первый интеграл. Он носит название интеграл энергии, так как равен сумме кинетической энергии и потенциальной энергии. Аналогично доказывается, что система уравнений Ньютона

имеет первый интеграл (интеграл энергии)

Для доказательства достаточно умножить обе части системы скалярно на вектор х.

Если известен первый интеграл системы, то ее порядок можно понизить на единицу. Для наглядности рассмотрим автономную систему из трех уравнений

и пусть — первый интеграл. Уравнение с определяет поверхность в пространстве (для этого достаточно, чтобы на — гл. 2, § 9). Эта поверхность расслаивается на фазовые траектории. Действительно, пусть y — фазовая траектория, заданная уравнениями

и пусть точка отвечающая значению лежит на Так как с и функция и сохраняет постоянное значение вдоль у, то вдоль у, т. е. кривая лежит на поверхности

Пусть, для определенности, последующие рассмотрения носят локальный характер, т. е. действие происходит в малой окрестности точки По теореме о неявной функции из соотношения можно выразить через так что

Тогда система (11) сведется к системе из двух уравнений

Решив эту систему, мы восстановим по формуле (12). Третье же уравнение системы обратится в тождество. Аналогично доказывается, что если известен первый интеграл системы из уравнений (4), то ее можно свести к системе из уравнения.

Рис. 26.

Если известны два (независимых) первых интеграла системы (11), то эта система интегрируется. Действительно, рассмотрим поверхности заданные уравнениями

Пусть у — линия их пересечения (рис. 26), тогда у — фазовая траектория. Действительно, выпустим из некоторой точки фазовую траекторию; по доказанному выше она обязана лежать и на поверхности и на поверхности а потому совпадает с

Таким образом, интегрирование системы (11) свелось к тому, чтобы из системы (13) выразить одно из переменных через, два других.