5. Устойчивые многообразия решений (условная устойчивость).

Рассмотрим линейную систему из двух уравнений с постоянными вещественными коэффициентами (гл. 1, § 9), фазовый портрет которой — седло. Начало координат — неустойчивое положение равновесия, но имеется два луча («усы») такие, что если точку при поместить на то решение при . Эти усы называются устойчивыми многообразиями.

Пример. Рассмотрим линейную систему из уравнений

где А — постоянная -матрица. Для простоты предположим, что все собственные значения вещественны и различны. Пусть собственные значения отрицательны, а остальные собственные значения положительны. Если начальные данные задать в виде

где — постоянные, — собственные векторы, то

Так как то при и имеется устойчивое многообразие М размерности к такое, что если то при - Точки этого многообразия имеют вид (15), где — произвольные постоянные. Если же то при

Нетрудно проверить, что если собственные значения матрицы А не лежат на мнимой оси, то система имеет устойчивое многообразие М. Его размерность равна числу собственных значений матрицы А, вещественные части которых отрицательны. Этот факт обобщается и на нелинейные системы вида (14).

Теорема 3. Пусть матрица А имеет к собственных значений с отрицательными и — к собственных значений с положительными вещественными частями, вектор-функция

непрерывно дифференцируема при

равномерно по Тогда для любого достаточно большого в пространстве существует (устойчивое) многообразие М размерности к, содержащее начало координат 0 и такое, что если - решение системы (14) такое, что то

Кроме того, существует такое, что если и величина достаточно мала, то решение не может удовлетворять условию

Последнее означает, что может сильно уклониться от нуля при больших значениях если начальная точка не лежит на устойчивом многообразии. Доказательство теоремы 3 см. в [28]. Там же доказано, что если все частные производные непрерывны при то М есть дифференцируемое многообразие (гл. 2, § 9).