Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше
Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике
Рассмотрим функционал вида (1), зависящий от одной неизвестной функции и поставим задачу об отыскании его минимума при условии, что один конец кривой фиксирован: а второй лежит на заданной гладкой кривой При этом верхний предел интегрирования в формуле (1) не фиксирован.
Пусть — экстремаль поставленной задачи и второй конец. Тогда точка минимума
задачи с закрепленными концами: и потому удовлетворяет уравнению Эйлера и краевому условию Найдем краевое условие на втором конце кривой. Дадим приращение и рассмотрим приращение функционала:
где многоточием обозначены бесконечно малые высшего порядка. Из тождества
следует, что где — бесконечно малая, и окончательно получаем следующую формулу для первой вариации функционала
Мы учли, что удовлетворяет уравнению Эйлера. Краевое условие на втором конце кривой принимает вид
и называется условием трансверсальности. Это условие можно представить в иной форме. Введем импульс и функцию Гамильтона (см. (13), (15)) и заметим, что вектор касается кривой у. Условие (20) означает, что вектор ортогонален , т. е. что вектор ортогонален кривой в точке . В такой форме условие трансверсальности легко обобщается на мн его мерный случай.
Рассмотрим функционал (1), где вектор-функция, и поставим задачу об отыскании минимума этого функционала при условии, что один конец кривой закреплен: а второй лежит на гиперповерхности к в пространстве заданной уравнением
Введем аналогично (13), (15) импульсы и функцию Гамильтона условие трансверсальности означает, что в точке (т. е. на втором конце экстремали) вектор ортогонален к Поскольку вектор ортогонален к в указанной точке, то он коллинеарен вектору и условия трансверсальности можно записать в виде
Условие трансверсальности в указанной выше форме сохраняется и в том случае, когда второй конец кривой у лежит не на гиперповерхности, а на многообразии меньшей размерности. Рассмотрим следующий пример: пусть причем фиксированы значение и точки значение не задается. Это означает, что второй конец экстремали лежит на прямой I в пространстве заданной уравнениями в этом случае условие трансверсальности имеет вид
и поставим задачу об отыскании его минимума при условии, что один конец кривой 
фиксирован: 
а второй лежит на заданной гладкой кривой 
При этом верхний предел интегрирования в формуле (1) не фиксирован.
— экстремаль поставленной задачи и 
второй конец. Тогда 
точка минимума
и потому 
удовлетворяет уравнению Эйлера и краевому условию 
Найдем краевое условие на втором конце кривой. Дадим 
приращение 
и рассмотрим приращение функционала:
где 
— бесконечно малая, и окончательно получаем следующую формулу для первой вариации функционала 
удовлетворяет уравнению Эйлера. Краевое условие на втором конце кривой 
принимает вид
и функцию Гамильтона 
(см. (13), (15)) и заметим, что вектор 
касается кривой у. Условие (20) означает, что вектор 
ортогонален 
, т. е. что вектор 
ортогонален кривой в точке 
. В такой форме условие трансверсальности легко обобщается на мн его мерный случай.
вектор-функция, и поставим задачу об отыскании минимума этого функционала при условии, что один конец кривой 
закреплен: 
а второй лежит на гиперповерхности к в пространстве 
заданной уравнением
и функцию Гамильтона 
условие трансверсальности означает, что в точке 
(т. е. на втором конце экстремали) вектор 
ортогонален к 
Поскольку вектор 
ортогонален к 
в указанной точке, то он коллинеарен вектору 
и условия трансверсальности можно записать в виде
причем фиксированы значение 
и точки 
значение 
не задается. Это означает, что второй конец экстремали лежит на прямой I в пространстве заданной уравнениями 
в этом случае условие трансверсальности имеет вид
