описывается системой дифференциальных уравнений
или в векторной форме
Примером управляемого объекта может служить любое транспортное средство (автомобиль, поезд и т. д.); его движение описывается уравнениями классической механики, но помимо внешних сил (сила земного тяготения, силы трения и т. п.) на него действуют также силы, управляемые человеком.
Рассмотрим функционал
и задачу с закрепленными концами
Задача оптимального управления состоит в отыскании минимума функционала (2) при условиях (1), (3), но для ее точной постановки необходимо еще описать класс допустимых управлений.
Будем предполагать, что управляющие параметры 
меняются в некотором замкнутом ограниченном множестве 
в пространстве 
Примером такого множества может служить 
-мерный параллелепипед 
Эти ограничения накладываются самим существом задачи (например, мощность двигателя 
не может превосходить некоторой величины: 
Предположение. Функции 
и их частные производные по перемененным 
, непрерывны при
Допустимым управлением называется вектор-функция и (0 со значениями в множестве 
которая кусочно, непрерывна при 
Это означает, что имеется не более конечного числа точек разрыва вектор-функций
и 
при 
и в каждой точке разрыва 
существуют конечные пределы слева и справа:
Вектор-функция 
предполагается непрерывной и кусочно гладкой при 
Основная задача оптимального управления формулируется следующим образом: среди всех допустимых управлений и 
найти такое, для которого функционал 
принимает наименьшее возможное значение, при условиях (3). Пара 
на которой достигается этот минимум, называется оптимальным процессом.
По внешнему виду эта задача близка к задаче Лагранжа (см. § 10, (5), (7), (3)). Но имеются следующие важнейшие различия: множество 
— не открытая область, как в § 10, а замкнутое ограниченное множество, и допустимые управления — не гладкие, а кусочно непрерывные вектор-функции. Уже простейшие примеры показывают, что оптимальное управление может не быть непрерывным.
Важным примером задачи оптимального управления является задача о быстродействии. Пусть заданы две точки 
Требуется за наименьшее время перевести объект из точки 
в точку 
. В этом случае 
так что 
Это не задача с закрепленными концами: начальное и конечное времена 
не фиксируются; они зависят от выбора управления 
Теория оптимального управления была создана в конце пятидесятых годов нашего столетия. В этом параграфе приведены некоторые из основных результатов этой 
принадлежащие Л. С. Понтрягину и его ученикам и изложенные в монографии 
определяется заданием вектор-функции 
Предполагается, что движением объекта можно управлять: управляющие параметры обозначим 
Движение объекта