2. Доказательство теоремы.
Задача Коши (1), (2) эквивалентна системе интегральных уравнений
где обозначено
Применим метод последовательных приближений:
Так как матрица-функция 
и вектор-функция 
непрерывны на отрезке 
то все последовательные приближения 
— непрерывные на отрезке I вектор-функции. Докажем, что последовательные приближения 
равномерно сходятся на отрезке 
Как и в доказательстве основной теоремы (гл. 2, § 1), рассмотрим ряд
Его частичные суммы равны 
так что из равномерной сходимости ряда (5) следует равномерная сходимость последовательности 
Как а
в доказательстве основной теоремы, достаточно доказать сходимость ряда
Напомним, что если 
есть 
-вектор, то его норма в пространстве 
определяется так:
а норма 
-матрицы 
определяются по формулам (гл. 2, §§ 2, 3):
Так как вектор-функция 
и матрица-функция 
непрерывны при 
то
где Си 
— постоянные.
Оценим нормы в 
последовательных приближений. Имеем 
Далее,
(мы воспользовались неравенством 
в неравенством (3) из § 5, гл. 2)
Далее,
(используем оценку (7))
Докажем по индукции, что выполняются оценки
При 
это неравенство доказано; совершим переход по индукции от к к к 
Имеем
(используем оценку (8))
Тем самым оценка (8) доказана.
Так как 
Правая часть неравенства не зависит от 
поэтому неравенство верно для максимума по 
левой части (т. е. для нормы в С)
Так как числовой ряд 
сходится (его сумма равна 
то сходится ряд (6) и тем самым равномерная сходимость последовательности 
доказана. В силу равномерной сходимости предельная вектор-функция 
непрерывна на отрезке I.
Переходя к пределу при к 
в соотношении (4), что возможно в силу равномерной сходимости последовательности 
получаем, что 
удовлетворяет системе интегральных уравнений (3) при всех 
Тем самым существование решения задачи Коши (1), (2) доказана. Единственность вытекает 
основной теоремы и теоремы о продолжении решений (гл. 2, § 6).
Рассмотрим задачу Коши для нелинейной системы из 
уравнений
где 
Теорема. Пусть вектор-функция 
непрерывна при 
по совокупности переменных и
при всех 
. Тогда решение задачи Коши (9) существует и единственно на всем отрезке 1.
Наметим доказательство. Для последовательных приближений
в силу леммы 3 (гл. 2, § 4) и оценок (9) справедливо неравенство
и по индукции, как и выше, доказывается неравенство
где А — некоторая постоянная. Далее см. доказательство предыдущей теоремы.
