Лемма (основная лемма вариационного исчисления). Пусть функция 
непрерывна на отрезке 
и пусть
для любой функции 
, удовлетворяющей условиям (3). Тогда 
Доказательство. Допустим, что 
, тогда существует точка 
такая, что 
; пусть 
для определенности. Тогда существует окрестность 
точки 
такая, что 
Можно считать, что 
лежит внутри интервала 
Построим функцию 
такую, что
Функция
удовлетворяет условиям (6). Имеем 
так как 
при 
Это противоречит условию (6) леммы; следовательно, 
Замечание. Лемма остается в силе, если условие (6) выполнено для более узкого класса функций 
а именно: функция 
имеет 
непрерывных производных при 
Действительно, как видно из доказательства леммы, достаточно построить 
раз непрерывно дифференцируемую функцию 
удовлетворяющую условию (6). В качестве такой функции можно взять, например,
Теорема 1. Пусть 
— экстремаль задачи с закрепленными концами (2) для функционала 
Тогда
удовлетворяет уравнению Эйлера
Доказательство. Если 
— экстремаль, то 
для любых допустимых приращений 
. Первая вариация имеет вид (5), и из основной леммы вариационного исчисления следует (8).
Уравнение Эйлера (8) — это дифференциальное уравнение второго порядка. Действительно,
и уравнение Эйлера имеет вид
Случай 
мы не рассматриваем.
Замечание. Пусть функция 
не зависит от 
Тогда уравнение Эйлера имеет первый интеграл
В этом важном частном случае интегрирование уравнения Эйлера приводится к интегрированию дифференциального уравнения первого порядка.
(слабый экстремум).
соединяющих заданные точки 
и 
(рис. 42), найти ту (те), на который функционал 
достигает экстремума. Эта задача называется задачей с закрепленными концами или простейшей задачей вариационного исчисления.
на которой функционал 
достигает экстремума, называется экстремалью.
дважды непрерывно дифференцируема, если 
приращение 
т. е. рассмотрим 
Допустимые приращения Их) таковы:
так что 
и аналогично 
Первая вариация функционала 
дается формулой (4), § 2. Интегрируя по частям: 
берутся в точке 
