2. Необходимые условия экстремума.

Рассмотрим задачу оптимального управления (1), (2), (3). Введем функцию Понтрягина

где — число, — скалярное произведение Переменные называются импульсами. Наряду с функцией Н рассмотрим функцию

Теорема (принцип максимума Понтрягина). Пусть оптимальный процесс для задачи (1)-(3). Тогда существуют не равные нулю одновременно число и вектор-функция такие, что:

1. Вектор-функция удовлетворяет системе

2. Функция переменного достигает в точке максимума при любом т. е.

Из (4) следует, что так что удовлетворяют системе уравнений

По форме эта система гамильтонова (см. § 10, (19)). Но в отличие от гамильтоновой системы она незамкнута, так как содержит уравнений и неизвестных

Необходимые условия экстремума в задачах классического вариационного исчисления формулируются в виде дифференциальных уравнений для экстремали. В задачах оптимального управлепия помимо дифференциальных уравнений возникают «недифференциальные условия» — см. (7). Необходимые условия экстремума для задач классического вариационного исчисления можно вывести из принципа максимума Понтрягипа.

Приведем формулировку принципа максимума, связанную с задачей об оптимальпом быстродействии. Рассмотрим автономную систему

где и функционал

Фиксируем точки момент времени и поставим задачу об отыскании наименьшего значения функционала при условиях

Такая постановка аналогична задаче с подвижными концами: в пространстве начало кривой фиксировано, а ее конец лежит на прямой

Необходимое условие оптимальности процесса формулируется в терминах функции Понтрягина (4) и имеет следующий вид:

1. Должны выполняться условия (6), (7).

2. В конечный момент времени выполняется соотношение

Доказано, что из условия 1 вытекает, что функция не зависит от так что условие (12) можно проверять для любого момента времени

В задаче об оптимальном быстродействии , так что слагаемое в (4) постоянно, и его можно опустить, взяв функцию Н в виде

Тогда условие (12) примет вид

Проиллюстрируем принцип максимума Понтрягина на простейшем примере [37]. Рассмотрим уравнение где — управляющий параметр, (т. е. множество — отрезок Параметр и можно рассматривать как силу, действующую на материальную точку массы Это уравнение можно записать в виде автономной системы

Рассмотрим задачу о быстрейшем попадании из заданной точки в начало координат . Функция Понтрягина имеет вид

Импульсы удовлетворяют системе уравнений

откуда следует, что где — постоянные. Так как то

т. е. максимум достигается при Следовательно, оптимальное управление — кусочно постоянная функция, принимающая значения Если то из системы (15) находим

--так что фазовая траектория — дуга параболы

где с — постоянная. При уравнение фазовой траектории имеет вид

где с — постоянная. По параболам (16) точка движется снизу вверх, так как а по параболам сверху вниз, так как . Поскольку функция линейная, то она имеет не более одного нуля; следовательно, — кусочно постоянная функция, имеющая не более двух интервалов постоянства. Рассмотрим кривую состоящую из двух «половинок» парабол вида (16), (17), проходящих через начало координат:

Если начальная точка лежит на то либо либо 1 (при 20), и искомая фазовая траектория — дуга кривой y Если начальная точка лежит выше кривой то вначале и точка движется по параболе вида (17) до точки ее пересечения с у. Затем происходит «переключение», т. е. становится равным 1 и точка движется по кривой к началу координат. Аналогично исследуется случай, когда точка лежит, ниже кривой у.

Согласно принципу максимума, только описанные выше траектории могут быть оптимальными. В этом примере

для каждой начальной точки такая траектория существует и единственна. Но тот факт, что она реализует минимум функционала, нуждается в проверке. Сформулируем теорему, которая позволяет осуществить эту проверку. Рассмотрим задачу о линейных оптимальных быстродействиях: система (1) имеет вид.

Здесь А, В — постоянные матрицы порядков соответственно. Пусть область управления — замкнутый ограниченный выпуклый многогранник, вектор, направление которого совпадает с направлением одного из ребер многогранника Требуется, чтобы векторы были линейно независимы.

Теорема [42]. Если для процесса, который описывается системой (18), существует допустимое управление, переводящее точку х из точки в точку то существует и оптимальное управление.

В рассмотренном выше примере (см. (15)) допустимое управление, переводящее точку в точку , существует. Многогранник есть отрезок так что IV — скаляр, Имеем (эти векторы — столбцы), так что — линейно независимые векторы, и в силу теоремы построенные в примере управления являются оптимальными.