§ 6. Условный экстремум

Напомним постановку и метод решения задачи на условный экстремум для функций. Пусть функции , где непрерывно дифференцируемы в

области Требуется найти экстремум функции при условии, что

Эта задача решается с помощью функции Лагранжа

зависящей от и от дополнительного переменного X, которое называется множителем Лагранжа. Именно, точки относительного экстремума определяются из условия

или, в более подробной записи, из уравнений

Точная формулировка такова: если — точка относительного экстремума и , то существует К такое, что при

Поставим задачу на условный экстремум для функционалов. Пусть

Функции дважды непрерывно дифференцируемы при

Требуется найти экстремумы функционала при условии, что

где — постоянная; для определенности рассмотрим задачу с закрепленными концами

Эта задача с помощью введения множителя Лагранжа сводится к задаче на безусловный экстремум для функционала

Теорема. Пусть — экстремаль задачи на условный экстремум (1), (2), и пусть Тогда существует число К такое, что удовлетворяет уравнению

Эйлера для функционала т. е.

Доказательство. Пусть — искомая экстремаль. Рассмотрим приращения вида где — параметры, функции обращаются в нуль при Тогда краевое условие выполнено, а функция

будет иметь экстремум в точке при условии, что где . Тем самым получена задача на условный экстремум для функции Ф. Имеем

Выберем функцию так, чтобы это можно сделать в силу условия теоремы. Тогда при любом выборе функции и существует такое, что при где — функция Лагранжа. В силу (4) имеем в точке

для любой функции равной нулю на концах отрезка и из основной леммы вытекает уравнение (3).

Пример. Среди всех кривых заданной длины

найти ту, которая ограничивает наибольшую площадь. Эта задача называется изопериметрической. В данном случае

Так как не зависят от х, то уравнение Эйлера (3) имеет первый иитеграл (§ 3)

Следовательно,

откуда находим, что

Искомая экстремаль — дуга окружности, проходящая через заданные точки