4. Уравнение Эйлера.

Это уравнение вида

где — постоянные, . С помощью замены переменной

уравнение Эйлера приводится к уравнению с постоянными коэффициентами. Действительно,

и аналогично можно показать, что есть линейная комбинация производных функции у по переменной с постоянными коэффициентами.

Более эффективный способ интегрирования уравнения Эйлера состоит в том, что решение ищется в виде Имеем

Подставляя в (10) и сокращая на получаем уравнение относительно Я:

которое называется определяющим уравнением. Если Я — корень определяющего уравнения, то функция

есть решение уравнения Эйлера. Приведем общий вид решения уравнения Эйлера.

1°. Корни определяющего уравнения различны. Тогда всякое решение уравнения Эйлера имеет

где произвольные постоянные.

2°. Определяющее уравнение имеет различные корпи кратностей соответственно, причем кг Тогда всякое решение уравнения Эйлера имеет вид

где — произвольный многочлен от степени

Замечание. Если — комплексное число, то при по определению,