2. Кривые и поверхности.

Кривой у в называется множество точек, заданное уравнениями

где функции непрерывны при Кривая называется гладкой, если функции непрерывно дифференцируемы при и

Вектор касательный вектор к кривой у в Гладкая обратимая замена переменных (3) отображает кривую к в кривую у, заданную уравнениями

причем гладкая кривая отображается в гладкую кривую. Действительно,

где — матрица Якоби, так как матрица

Якоби невырождена.

В трехмерном пространстве с координатами система из двух уравнений определяет кривую, при некоторых предположениях. Теорема 2. Система из уравнения

в определяет гладкую кривую у, проходящую через точку если -решение системы (7) и ранг матрицы Якоби равен

Доказательство. Пусть для определенности отличен от нуля определитель

Положим

Полученная аамена переменных — гладкая и обратимая, и в переменных у система (6) принимает вид

0. Эта система определяет гладкую кривую

где меняется на некотором интервале

Замечание 1. Теорема 2 (и последующая теорема 3) — локальная, т. е. система (6) определяет кривую в малой окрестности точки

Рассмотрим поверхность в заданную параметрически: — радиус-вектор, т. е.

где — некоторая область на плоскости Функции непрерывно дифференцируемы в области V, и ранг матрицы Якоби

максимален, т. е. равен 2, во всех точках области Пусть в точке отличен от нуля определитель:

Тогда из первых двух уравнений (8) можно в малой окрестности точки выразить через х, у:

и уравнение поверхности примет вид

Фиксируя значение параметра получаем кривую

лежащую на поверхности Ее касательный вектор есть Аналогично, фиксируя а получаем кривую на 5 с касательным вектором Векторы неколлинеариы, так как ранг составленной из них матрицы равен двум. Плоскость проходящая через точку и натянутая на векторы называется касательной плоскостью к поверхности в точке Любой вектор с началом в точке лежащий на плоскости касается поверхности

Замечание 2. Рассмотрим сферу заданную уравнением Известно, что нельзя задать параметрически, т. е. уравнениями (8). Разобьем сферу на две части пусть содержит северный полюс и ограничена параллелью, лежащей ниже экватора, а 52 содержит южный полюс и ограничена параллелью, лежащей выше экватора. Тогда можно задать уравнениями . Части сферы пересекаются. Поэтому под поверхностью понимается множество, состоящее из «кусков», каждый из которых задан уравнениями вида (8), и эти уравнения согласуются, если куски пересекаются. Полученный геометрический объект называется дифференцируемым многообразием (см. [4]). Мы ограничимся рассмотрением только «куска» многообразия.

Рассмотрим в -мерном пространстве множество точек заданное уравнениями

Здесь — область в пространстве вектор-функция непрерывно дифференцируема в области и . В покомпонентной записи имеем

Определение 2. Множество называется гладкой поверхностью (или дифференцируемым многообразием)

размерности если ранг матрицы Якоби равен к при всех

Если к то — кривая; если то — поверхность в пространстве Поверхность максимальной размерности называется гиперповерхностью. При гладкой обратимой замене переменных (3) гладкая поверхность М отображается в гладкую поверхность той же размерности, так как ранг матрицы Якоби при таком отображении сохраняется.

Векторы линейно независимы, так как ранг составленной из них матрицы равен к. Плоскость размерности проходящая через точку натянутая на векторы называется касательной плоскостью в Любой вектор с началом в точке лежащий в плоскости касается в этой точке.

Гиперповерхность может быть задана одним уравнением Теорема 3. Пусть уравнение (10) имеет решения и

если Тогда уравнение (10) определяет гиперповерхность

Доказательство. Напомним, что

Если то хотя бы одна из частных производных функции при отлична от нуля. Пусть Сделаем замену переменных

Эта замена — гладкая и обратимая в малой окрестности точки так как определитель

В переменных у множество точек, удовлетвориющих уравнению (10), есть гиперплоскость так что есть гиперповерхность (в качестве параметров можно взять Поэтому прообраз есть гиперповерхность.

Пример 3. Рассмотрим уравнение эллипсоида

Эллипсоид — гладкая поверхность, так как обращается в нуль только в точке , которая не лежит на эллипсоиде. Точно так же доказывается, что однополостный и двуполостный гиперболоиды, эллиптический и гиперболический параболоиды — гладкие поверхности.

Система из уравнений

определяет, вообще говоря, гладкую поверхность размерности в . Достаточное условие таково: ранг матрицы Якоби в точке удовлетворяющей системе, максимален, т. е. равен к,