Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше
Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике
2. Кривые и поверхности.
Кривой у в
называется множество точек, заданное уравнениями
где функции
непрерывны при
Кривая называется гладкой, если функции непрерывно дифференцируемы при
и
Вектор
касательный вектор к кривой у в
Гладкая обратимая замена переменных (3) отображает кривую к в кривую у, заданную уравнениями
причем гладкая кривая отображается в гладкую кривую. Действительно,
где
— матрица Якоби,
так как матрица
Якоби невырождена.
В трехмерном пространстве с координатами
система из двух уравнений
определяет кривую, при некоторых предположениях. Теорема 2. Система из
уравнения
Тогда из первых двух уравнений (8) можно в малой окрестности точки
выразить
через х, у:
и уравнение поверхности примет вид
Фиксируя значение параметра
получаем кривую
лежащую на поверхности
Ее касательный вектор есть
Аналогично, фиксируя а
получаем кривую на 5 с касательным вектором
Векторы
неколлинеариы, так как ранг составленной из них матрицы равен двум. Плоскость
проходящая через точку
и натянутая на векторы
называется касательной плоскостью к поверхности
в точке
Любой вектор с началом в точке
лежащий на плоскости
касается поверхности
Замечание 2. Рассмотрим сферу
заданную уравнением
Известно, что
нельзя задать параметрически, т. е. уравнениями (8). Разобьем сферу на две части
пусть
содержит северный полюс и ограничена параллелью, лежащей ниже экватора, а 52 содержит южный полюс и ограничена параллелью, лежащей выше экватора. Тогда
можно задать уравнениями
. Части
сферы пересекаются. Поэтому под поверхностью
понимается множество, состоящее из «кусков», каждый из которых задан уравнениями вида (8), и эти уравнения согласуются, если куски пересекаются. Полученный геометрический объект называется дифференцируемым многообразием (см. [4]). Мы ограничимся рассмотрением только «куска» многообразия.
Рассмотрим в
-мерном пространстве
множество точек
заданное уравнениями
Здесь
— область в пространстве
вектор-функция
непрерывно дифференцируема в области
и
. В покомпонентной записи имеем
Определение 2. Множество
называется гладкой поверхностью (или дифференцируемым многообразием)
В переменных у множество
точек, удовлетвориющих уравнению (10), есть гиперплоскость
так что
есть гиперповерхность (в качестве параметров
можно взять
Поэтому
прообраз
есть гиперповерхность.
Пример 3. Рассмотрим уравнение эллипсоида
Эллипсоид — гладкая поверхность, так как
обращается в нуль только в точке
, которая не лежит на эллипсоиде. Точно так же доказывается, что однополостный и двуполостный гиперболоиды, эллиптический и гиперболический параболоиды — гладкие поверхности.
Система из
уравнений
определяет, вообще говоря, гладкую поверхность размерности
в
. Достаточное условие таково: ранг матрицы Якоби
в точке
удовлетворяющей системе, максимален, т. е. равен к,