Производная в силу системы (4) называется также производной по направлению векторного поля или производной Ли (в честь норвежского математика Софуса Ли).
Замечацие 1. Производной функции и 
по направлению 
называется величина
где единичный вектор. Это частный случай производной по направлению векторного поля; последняя учитывает не только направление, но и длину вектора (см. (5)).
Лемма. Пусть и 
производная в силу системы (4), и 
в некоторой области 
. Тогда функция и 
не убывает (не возрастает) вдоль любой фазовой траектории системы (4), лежащей в области 
Доказательство следует из (2): если 
то 
и функция 
не убывает с ростом 
Пусть и 
— гладкая функция, 
в некоторой области 
Тогда уравнение 
определяет гладкую гиперповерхность 
(гл. 2, § 10), а вектор 
ортогонален к 
в точке х и направлен в сторону возрастания функции 
Если 
в области 
то вектор 
образует прямой или тупой угол с вектором 
и потому направлен в сторону убывания (или постоянства) функции и 
. В ту же сторону направлена фазовая траектория у системы (4), выходящая из точки 
так как 
— касательный вектор к 
в точке х. Эти рассуждения дают геометрическое доказательство леммы.
Производная в силу системы (4) инвариантна относительно гладкой замены переменных. Это означает следующее. Сделаем гладкую обратимую замену переменных 
(гл. 2, § 10), тогда функция и 
перейдет в функцию 
а система (4) — в систему
Производная в силу системы при этом не изменяется, т. е.
если 
связаны соотношением 
Здесь и 
производная в силу системы (4), 
производная в силу системы (4). Действительно (гл. 2, § 11),
где 
, так что
уравнений
в пространстве 
для системы (1) выполнены условия 
новной теоремы (гл. 2, § 1). Все прочие функции 
которые рассматриваются ниже, непрерывно дифференцируемы в области 
— некоторая функция, 
— решение системы (1). Вдоль этой интегральной кривой функция и будет функцией одной переменной 
и учитывая, что 
— решение системы (1), получаем
или 
Таким образом,
уравнений
Ее производная в сплу системы (4) равна
градиент функции и 
