ГЛАВА 6. ЭЛЕМЕНТЫ ВАРИАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ

§ 1. Функционалы

Многие задачи анализа, механики, физики приводят к понятию функционала. Пусть каждой функции из некоторого множества М поставлено в соответствие число

Тогда мы говорим, что задан функционал множество М называется его областью определения. Приведем примеры.

1. Пусть плоская кривая соединяет точки и . Ее длина есть функционал

2. Площадь под кривой соединяющей точки и , есть функционал

3. Основной пример функционалов, которые рассматриваются в настоящей главе, следующий:

где — заданная функция. В примере в примере .

Одна из основпых задач дифференциального исчисления — нахождение наибольших и наименьших значений функций. Одна из основных задач вариационного исчисления нахождение наибольших и наименьших

значений функционалов. Приведем примеры задач вариационного исчисления.

1. Среди всех плоских кривых соединяющих заданные точки найти ту, которая имеет наименьшую длину. Это задача о нахождении минимума функционала

2. Пусть скорость света на плоскости равна Требуется найти световой луч, соединяющий заданные точки . Будем считать, что луч задается уравнением

Согласно принципу Ферма, луч приходит из начальной точки в конечную за минимальное время Имеем вдоль кривой где — дифференциал длины дуги, так что

Итак, для определения формы светового луча требуется найти минимум функцйонала

Функционал можно рассматривать как функцию от бесконечного числа переменных, например, как функцию от значения в точках отрезка . Естественно ожидать, что какая-то часть понятий и результатов, относящихся к функциям нескольких переменных, сохранится и для функционалов — функций от бесконечного числа переменных. И действительно, такие понятия как непрерывность функционала, первый дифференциал функционала вводятся для функционалов почти дословно так же, как и для функций.