3. Однородные уравнения.

Это уравнения вида

Положим где — новая неизвестная функция; тогда и потому

Мы получили уравнение с разделяющимися переменными. Имеем

откуда, учитывая замечание 2, находим

Здесь произвольная постоянная, Кроме того, если — корень уравнения то функция решение уравнения (7).

Уравнение (7) называется однородным по той причине, что оно не меняется при замене х на на — постоянная). В частности, если — решение уравнения (7), то также является решением. Поэтому интегральные кривые образуют семейство подобных кривых, центр подобия — начало координат. Решения вида играют такую же роль, как и решения вида для уравнений с разделяющимися переменными.

Пример 6. Решим уравнение

Полагая получаем

Так как

то окончательно получаем

Ясно, что здесь удобно перейти к полярным координатам . Тогда решения примут вид или

где С — произвольная положительная постоянная. Интегральные кривые являются логарифмическими спиралями.

При решении однородных уравнении бывает удобно перейти к полярным координатам: . В примере 6 имеем

откуда находим, что Последнее уравнение легко интегрируется.

Рассмотрим уравнение вида

Функция называется однородной степени если

при всех Здесь — целое число, или, по крайней мере, где целые, (в противном случае число Г будет комплексным при Для однородной функции степени то справедливо тождество Эйлера

Для доказательства достаточно продифференцировать обе части тождества (10) по и затем положить

Если однородные функции одной и той же степени то уравнение (9) однородное.

Пример 7. Решим уравнение

Оно имеет вид (7), где

так что подстановка приводит уравнение к виду

Учитывая замечание 2, получаем уравнение семейства решений где С — произвольная постоянная, так как есть решение. Следовательно, все решения даются формулами

так как уравнение имеет корни

Рис. 3.

Кривая Заяу, называется декартов лист и изображена на рис. 3.

Интегральная кривая отделяет петли декартовых листов от их бесконечных ветвей. Декартов лист имеет параметрическое представление

Функция называется положительно однородной степени если тождество (10) выполняется при всех Число может не быть целым. Пример: функция — положительно однородная степени при любом . Тождество Эёлера (11) справедливо для положительно однородных функций. Уравнение (9), в котором — положительно однородные функции одной и той же степени интегрируется тем же методом, что и выше.

Пример 8. Решим уравнение

Здесь — однородные функции степени — положительно однородная функция степени 1, так что — положительно однородная функция. Полагая получаем

Пусть тогда или

где — произвольная постоянная. Перенося в правую часть и возводя обе части полученного равенства в квадрат, получаем уравнение семейства решений

Пусть тогда

где — произвольная постоянная, которую запишем в виде Тогда

Все решения даются формулой

где — произвольная постоянная. Интегральные кривые — семейство парабол с осью симметрии у. Рекомендуется проверить, что если то у не является решением.

К однородным уравнениям приводятся уравнения вида

где Пусть

тогда можно сделать такую замену переменных

что в линейных функциях исчезнут свободные члены:

Полученное уравнение будет однородным. Пусть . Введя новую неизвестную функцию получим уравнение с разделяющимися переменными.

Пример 9. Решим уравнение

Полагая получаем однородное уравнение

После подстановки получаем

Так как — решения, то С — произвольная постоянная. Окончательно получаем уравнение семейства решений

Некоторые уравнения удается привести к однородным с помощью подстановки

при подходящем выборе числа то.

Пример 10. Решим уравнение

Полагая получаем уравнение

Это уравнение будет однородным, если степени всех одночленов от переменных будут равны:

Отсюда находим и подстановка приводит уравнение к однородному

Полагая получаем

и окончательно