3. Периодические толчки в системах с трением.

Рассмотрим однородное уравнение

где — вещественные постоянные. Пусть тогда это уравнение описывает гармонические пли затухающие колебания (гл. 1, § 6). Пусть на систему действуют толчки в последовательные моменты времени дающие положительные приращения скорости Тогда будет происходить борьба между трением (при ), которое стремится уменьшить амплитуду колебаний, и толчками, которые стремятся их увеличить. Выясним, к чему приводит эта борьба.

Сформулируем математическую постановку задачи. Зададим данные Коши При функция удовлетворяет уравнению

Если — решение задачи Коши для однородного уравнения (22), определенное при решение задачи Коши для уравнения (23) равно

Не следует пугаться бесконечного ряда: если фиксировать момент времени то останется лишь конечная сумма

так как при Уравнение (22) имеет решения

где обозначено

и из формулы (17) находим

при . Итак, если

Упростить эту сумму для любых невозможно, и мы ограничимся случаем, когда все толчки одинаковы и совершаются через равные промежутки времени:

Результат воздействия периодических толчков существенно вависит от того, совпадает ли период Т толчков с периодом То свободных колебаний.

Сумма из правой части (24) равна

Под знаком мнимой часи стоит сумма геометрической прогрессии со знаменателем так что

1°. Пусть (свободные колебания — гармонические), но не имеет вид целое число. Это означает, что период толчков не есть целое кратное периода свободных колебаний. Преобразуя правую часть

и используя формулы Эйлера, получаем, что при

Поэтому результат воздействия толчков есть гармоническое колебание с амплитудой

Пусть, для простоты, число иррационально. Тогда величина может принимать значения, сколь угодно близкие к любому числу а, лежащему на отрезке (гл. 1, § 7), так что амплитуда может принимать значения, сколь угодно близкие к любому числу, заключенному в отрезке Это явление биений, о котором говорилось в гл. 1, § 7.

2°. Пусть т. е. свободпые колебания — гармонические, а период толчков совпадает с периодом свободных колебаний, т. е. Тогда так что при получаем

Амплитуда стремится к бесконечности с ростом — возникает явление резонанса (ср. гл. 1, § 7). Аналогичное явление происходит и в том случае, когда где — целое.

3°. Пусть т. е. свободные колебания затухающие, а — период толчков совпадает с периодом свободных ангармонических колебаний. На интервале имеем так что

Если то так что устанавливаются периодические колебания:

с амплитудой

Таков результат «борьбы» между трением и периодическими толчками. Если же то, как и в случае 1°, возникают биения.