и из формулы (17) находим
при
. Итак, если
Упростить эту сумму для любых
невозможно, и мы ограничимся случаем, когда все толчки одинаковы и совершаются через равные промежутки времени:
Результат воздействия периодических толчков существенно вависит от того, совпадает ли период Т толчков с периодом То свободных колебаний.
Сумма из правой части (24) равна
Под знаком мнимой часи стоит сумма геометрической прогрессии со знаменателем
так что
1°. Пусть
(свободные колебания — гармонические), но
не имеет вид
целое число. Это означает, что период толчков не есть целое кратное периода свободных колебаний. Преобразуя правую часть
и используя формулы Эйлера, получаем, что при
Поэтому результат воздействия толчков есть гармоническое колебание с амплитудой
Пусть, для простоты, число
иррационально. Тогда величина
может принимать значения, сколь угодно близкие к любому числу а, лежащему на отрезке
(гл. 1, § 7), так что амплитуда
может принимать значения, сколь угодно близкие к любому числу, заключенному в отрезке
Это явление биений, о котором говорилось в гл. 1, § 7.
2°. Пусть
т. е. свободпые колебания — гармонические, а период толчков совпадает с периодом свободных колебаний, т. е.
Тогда
так что при
получаем
Амплитуда
стремится к бесконечности с ростом
— возникает явление резонанса (ср. гл. 1, § 7). Аналогичное явление происходит и в том случае, когда
где
— целое.
3°. Пусть
т. е. свободные колебания затухающие, а
— период толчков совпадает с периодом свободных ангармонических колебаний. На интервале
имеем
так что
Если
то
так что устанавливаются периодические колебания:
с амплитудой
Таков результат «борьбы» между трением и периодическими толчками. Если же
то, как и в случае 1°, возникают биения.