5. Выделение вещественных решений.

Во многих прикладных задачах коэффициенты уравнения (1) вещественны, и требуется найти все вещественные решения этого уравнения. Процедура выделения вещественных решений не зависит от того, постоянны или переменны коэффициенты уравнения, и мы рассмотрим уравнение

с переменными коэффициентами.

Лемма 1. Если коэффициенты уравнения (14) вещественны и — его решение, то его вещественная и мнимая части

также являются решениями.

Доказательство. Имеем Подставляя в уравнение (14), получаем

Функции вещественны, а потому

Лемма 2. Если коэффициенты характеристического уравнения (6) вещественны и — корень уравнения, то Я — также корень уравнения.

Доказательство. Имеем

так как вещественны, и если то

Пусть коэффициенты уравнения (1) вещественны; ограничимся случаем простых корней. Если вещественный корень, то функция есть вещественное решение. Пусть комплексный корень, тогда уравнение (1) имеет решение . В силу леммы 1 функции

будут (вещественными) решениями. Комплексно сопряженному решению отвечает та же пара вещественных решений. Можно показать, что всякое вещественное решение уравнения (1) есть линейная комбинация с вещественными коэффициентами решений вида т. е.

где — вещественные постоянные.

Пример 1. Решим уравнение

Составим характеристическое уравнение

Его корни равны и потому всякое решение имеет вид

где — произвольные комплексные постоянные. Найдем все вещественные решения. Так как решение вещественно, то всякое вещественное решение имеет вид

где — произвольные вещественные постоянные. Пример 2. Решим уравнение

где — постоянная. Корни характеристического уравнения равны: и потому всякое решение уравнения имеет вид

где произвольные комплексные постоянные. Найдем все вещественные решения. Решения вещественны, и потому всякое вещественное решение имеет вид

где — произвольные вещественные постоянные. Пример 3. Решим уравнение

Характеристическое уравнение

является возвратным. Алгебраическое уравнение

называется возвратным, если равны коэффициенты, равноотстоящие от концов:

Если степень уравнения нечетна, то оно имеет корень и после деления на получается возвратное уравнение четной степени Если же степень уравнения четна, то его можно свести к уравнению степепи вдвое меньшей с помощью подстановки

Покажем это на примере уравнения (15). Поделив обе части этого уравнения на , получим квадратное уравнение относительно

Пусть так что исходное уравнение есть

Тогда откуда находим

и всякоэ решение дифференциального уравнения имеет вид

Всякое вещественное решение имеет вид

Пример 4. Решим уравнение

Корни характеристического уравнения равны так что корень двукратный. Поэтому всякое решение уравнения имеет вид