§ 9. Двумерные автономные системы (элементы качественной теории)

1. Локальное поведение траекторий.

Рассмотрим автономную систему из двух уравнений

Предположение. Функции вещественны и бесконечно дифференцируемы при всех х, у.

Пусть — положение равновесия системы (1). Линеаризованная (в окрестности точки ) система имеет вид

Система (2) — это линейная однородная система с постоянными коэффициентами и ее фазовые траектории нетрудно построить. Спрашивается, можно ли судить

о структуре фазовых траекторий исходной нелинейной системы (1), в малой окрестности точки а, по структуре траекторий линеаризованной системы Ответ на этот вопрос хорошо известен [40, 41].

Теорема 1. Пусть положение равновесия линеаризованной системы (2) есть узел, седло или фокус. Тогда фазовые траектории системы (1) имеют ту же топологическую структуру в малой окрестности положения равновесия а.

Последнее означает, что существует гладкая обратимая замена переменных, при которой фазовые траектории системы (2) отображаются в фазовые траектории системы (1). Седло, узел и фокус называются грубыми положениями равновесия (эта терминология была введена А. А. Андроновым). Центр —не грубое положение равновесия: если у линеаризованной системы (2) точка — центр, то у исходной системы (1) положение равновесия а может быть или центром, или фокусом, или центрофокусом (в последнем случае в любой окрестности положения равновесия имеются замкнутые траектории, его окружающие, но не все траектории замкнуты). Результаты, относящиеся к исследованию особых точек автономной системы (1), читатель может найти в [41].

Рассмотрим одно уравнение

Точка называется особой, если

т. е. если эта точка — положение равновесия системы (1). Это понятие введено по следующим соображениям. Пусть , тогда имеется интегральная кривая уравнения (3), проходящая через точку и притом единственная. Если же , то будем рассматривать у как независимую переменную, т. е. перейдем к уравнению

Тогда через точку проходит единственная интегральная кривая уравнения (3).

Рассмотрим автономную систему из уравнений

Пусть а — ее положение равновесия; рассмотрим линеаризованную систему

где . Если собственные значения матрицы А различны и среди них нет чисто мнимых, то фазовые траектории линеаризованной и нелинейной систем (в малых окрестностях точек ) имеют одну и ту же топологическую структуру [381.