§ 6. Гладкость решений
Рассмотрим систему из 
уравнений
Теорема. Пусть вектор-функция 
обладает непрерывными производными по всем переменным до порядка 
включительно. Тогда всякое решение системы (1) имеет непрерывные производные до порядка 
Это означает, что чем глаже правые части системы, тем глаже решение.
Доказательство проведем для случая одного уравнения. Пусть 
тогда решение 
непрерывно дифференцируемо, в силу основной теоремы. Имеем
Так как функция 
непрерывно дифференцируема по совокупности переменных, то функция от одной переменной 
непрерывно дифференцируема по теореме о дифференцируемости сложной функции. Следовательно, правая часть тождества (2) непрерывно дифференцируема, т. е. существует непрерывная вторая производная 
. Пусть 
Продифференцировав тождество (2) по 
получим
Применив к этому тождеству те же рассуждения, что и выше, получим, что существует непрерывная третья производная решения 
, и т. д.
