§ 8. Обратные и неявные функции

1. Теорема об обратной функции.

Рассмотрим систему из уравнений с неизвестными

Введя вектор-функции

запишем систему (1) в виде

Будем предполагать, что все функции непрерывно дифференцируемы в некоторой окрестности точки обозначим Приведем достаточные условия, при которых из уравнений (1)

можно (локально) выразить через

или, в векторной форме,

Вектор-функция называется обратной к вектор-функции .

Приведем вначале эвристические соображения. Разложим функции по формуле Тейлора:

Эти равенства можно записать в виде

Здесь -функция с компонентами — матрица

Матрица называется матрицей Якоби.

Если отбросить в разложении (4), то получится система из линейных алгебраических уравнений с неизвестными:

Из линейной алгебры известно, что эта система однозначно разрешима, если отличен от нуля ее определитель: . Ниже будет доказано, что это условие гарантирует локальную разрешимость нелинейной системы (1).

Пусть — некоторая окрестность точки Вектор-функция переводит каждую точку в точку х из некоторой окрестности V точки (рис. 13). Если отображение взаимно однозначно, то это означает, что существует обратная вектор-функция .

Теорема об обратной функции. Пусть выполнены условия:

1. Вектор-функция непрерывно дифференцируема в некоторой окрестности точки

Тогда существуют окрестности точек и вектор-функция такие, что:

1. Вектор-функция взаимно однозначно отображает область на область V.

Рис. 13.

2. Обратная вектор-функция непрерывно дифференцируема в области V.

3. Обратная вектор-функция единственна, если область V достаточно мала.

Доказательство этой теоремы разобьем на несколько этапов.

1°. Существование обратной вектор-функции. Применим принцип сжатых отображений. Будем считать, что этого можно добиться с помощью замены переменных Используя разложение (4), запишем систему уравнений (2) в виде

где Преобразуем эту систему к виду

(напомним, что матрица Якоби невырождена) и запишем систему (6) в «операторной форме»

где — правая часть формулы (6).

Пусть — окрестность вида точки — окрестность вида точки Покажем, что если достаточно малы, то (замыкание

области при любых т. е. что

Так как при (см. (4)), то при где может быть выбрано сколь угодно малым. Используя это неравенство и неравенство получаем

и неравенство (8) будет выполнено, если выбрать где Ниже предполагается, что окрестности выбраны указанным образом.

Чтобы применить принцип сжатых отображений к уравнению (7), оценим норму разности где Имеем

(мы используем лемму 3 из § 4), где обозначено Из разложения (4) следует, что при всех к и потому можно выбрать настолько малым, чтобы выполнялось неравенство при этом соответственно уменьшается окрестность V. Итак,

Фиксируем точку и применим к уравнению (7) принцип сжатых отображений . В данном случае банахово пространство В есть пространство замкнутое ограниченное множество есть (7, а оператор А определен выше (см. (6), и отображает в точку Из оценок (8), (9) следует, что оператор А сжимает множество а потому уравнение (7) имеет, и притом единственное, решение . Тем самым доказано существование однозначной обратной вектор-функции при и ее значения лежат в области О.

2°. Непрерывность. Пусть Имеем из (6)

и, используя оценку (9), получаем

так что

Из этой оценки следует, что то и непрерывность обратной вектор-функции доказана.

3°. Дифференцируемость. Чтобы доказать дифференцируемость вектор-функции в точке , необходимо доказать, что ее приращение представимо в виде

здесь С — постоянная матрица.

Пусть преобразуем разность Из формул (9), (10), § 4 следует, что

Здесь Ф есть -матрица с элементами

точки лежат на отрезке, соединяющем точки и матрица-функция непрерывно зависит от Следовательно,

и элементы матрицы V стремятся к нулю,

Поэтому где — такая вектор-функция, что

Из оценки (10) следует, что

где — постоянная, и потому

так что

Имеем из (12)

в из (13) следует, что при . Тем самым доказано представление (11), а стало быть, и дифференцируемость обратной вектор-функции . В условиях теоремы справедливо Следствие. Матрицы Якоби прямой и обратной вектор-функций взаимно обратны:

где х, у связаны уравнением (2).

Доказательство следует из сравнения формулы

с формулой (14).

Геометрическую интерпретацию и геометрические приложения теоремы об обратной функции, а также теоремы о неявной функции, см. в § 9.