2. Уравнения второго порядка.

Рассмотрим уравнение

Если — решения этого уравнения, то их вронскиан равен

и формула Лиувилля принимает вид

где С — постоянная. В частности, вронскиан решений уравнения

есть константа:

Если известно решение уравнения (12), не равное тождественно нулю, то второе линейно независимое решение может быть найдено с помощью квадратуры. Действительно, в силу (13) имеем

так что для мы получили линейное уравнение первого порядка. Интегрируя это уравнение (гл. 1, § 2, пример 4), находим частное решение

Рассмотрим неоднородное уравнение

и найдем его частное решение в предположении, что известна фундаментальная система решений однородного уравнения (10). Имеем

так что

Подставляя в (9), находим частное решение

Если нет под рукой формулы (16), то частное решение уравнения (15) можно найти с помощью метода вариации постоянных. Будем искать решение в виде

где — неизвестные функции. Имеем

Функции выберем так, чтобы выражение в квадратных скобках обратилось в нуль. Подставляя в уравнение (15), получаем

Выражение в квадратных скобках равно нулю, так как У и — решения уравнения (10), и потому для получаем систему уравнений

Решив систему, получим

После интегрирования и подстановки в (17) снова получим формулу (16).

Пример 1. Решим уравнение

Однородное уравнение

есть уравнение Эйлера (гл. 1, § 5). Будем искать его решение в виде Подставляя у в уравнение, получаем определяющее уравнение так что Всякое решение однородного уравнения имеет вид

Найдем частное решение неоднородного уравнения методом вариации постоянных:

На функции налагается условие Тогда

Подставим в уравнение; при этом заранее известно, что слагаемые, содержащие с, и исчезнут. Получаем уравнение

Из полученных двух уравнений для находим

так что частное решение равно

Всякое решение уравнения имеет вид

Пример 2. Решим уравнение

Как и в предыдущем примере, решение однородного уравнения будем искать в виде Тогда для К получим уравнение так что и фундаментальная система решений имеет вид

Найдем вещественные решения. По определению (гл. 1, § 5, замечание),

и однородное уравнение имеет фундаментальную систему решений

Для отыскания частного решения воспользуемся формулой (16). Вронскиан решений равен

так что частное решение равно

Всякое решение уравнения имеет вид

Пример 3. Решим уравнение

Однородное уравнение имеет фундаментальную систему решений Частное решение возьмем в виде

тогда получим

Следовательно, все решения даются формулой

Данное уравнение можно существенно упростить с помощью классической подстановки

Тогда получим

и уравнение примет вид

Применим подстановку (18) к уравнению

которое можно записать в виде

Полагая получаем уравнение Эйлера

Возьмем в виде определяющее уравнение есть так что его корни равны . Следовательно, всякое решение уравнения (19) имеет вид

Пример 4. Рассмотрим уравнение

где — постоянная, функция непрерывна при — Выясним, при каких условиях уравнение имеет периодическое решение.

Пусть имеется периодическое решение с периодом Тогда так что — периодическая функция. Пусть — наименьший положительный период функции тогда где целое число.

Итак, пусть периодическая функция с (наименьшим) периодом Выясним, при каких условиях на функцию уравнение (20) имеет решение с периодом Т, где, как показано выше, Решим уравнение (20). Однородное уравнение имеет линейно независимые решения , их вронскиан равен , и по формуле (26) находим все решения:

Пусть решение имеет период тогда

при всех Преобразуем интеграл сделав замену переменной Учитывая, что получаем

В последнем определенном интеграле заменим переменную интегрирования и на т. Тогда получим

Так как тождество (22) выполняется при всех и функции линейно независимы, то

Разрешимость этой системы есть необходимое и достаточное условие существования Г-периодического решения. Определитель системы (24) равен

Возможны следующие варианты.

1. где — целое число. Тогда и уравнение (20) имеет единственное Г-периодическое решение. Оно дается формулой (21), где си определяются из системы (25).

Уравнение (20) описывает колебания механической системы с частотой собственных колебаний со, находящейся под воздействием внешней Г-периодической силы. Период собственных колебаний системы равен Приведенное выше условие на означает, что отношение периодов — иррациональное число, т. е. эти периоды несоизмеримы. В этом случае имеется ровно одно периодическое решение, все остальные будут почти периодическими функциями.

2. , где В этом случае период собственных колебаний То системы и период внешней силы Т соизмеримы.

Так как то в системе (25) все коэффициенты при неизвестных равны нулю, в силу (24). Поэтому система (25) разрешима тогда и только

тогда, когда выполняются соотношения

т. е. функция ортогональна к функциям на отрезке Так как — период решений однородного уравнения, то все решения уравнения (20) периодичны с периодом

Если же хотя бы одно из отлично от нуля, то уравнение (20) не имеет решений с периодом Более того, в этом случае все решения уравнения (20) неограничены, т. е. имеется явление резонанса. Действительно, из формулы (23) следует, что

Складывая эти тождества, получаем

Если , то положим тогда получим

Если , то положим тогда

Поэтому решение неограничено, и так как все решения однородного уравнения ограничены, то все решения уравнения (20) неограничены.