2. Задача Коши.

Постановка этой задачи для нелинейного уравнения (1) отличается от постановки задачи Коши для линейных и квазилинейных уравнений с частными производными. С такого рода различием мы уже встречались для обыкновенных дифференциальных уравнений. Именно, для уравнения, разрешенного относительно производной: в качестве начальных данных задается значение функции в некоторой точке: . Для уравнения, не разрешенного относительно производной: задаются значения функции и производной в некоторой точке: Эти значения должны быть согласованы, т. е. должно выполняться соотношение Аналогично, для нелинейного уравнения (1) в качестве данных Коши следует вадать значения функции и всех ее частных производных (т. е. вадать градиент этой функции) на некоторой гиперповерхности Эти значения функции и ее градиента должны быть согласованы с уравнением (1).

Рассмотрим вначале случай, когда есть гиперплоскость и пусть Введем обозначения

Зададим на значения функции Тогда значения известных Для определения получаем уравнение

т. е. определяется как неявная функция. Уравнение (8) может определять не одну, а несколько функций, его решение может не быть гладким и т. д. Пусть при это уравнение имеет корень Если выполнено условие

то по теореме о неявной функции (гл. 2, § 8) уравнение (8) определяет единственную гладкую в окрестности точки функцию такую, что Данные Коши в этом случае таковы:

Здесь — указанный выше корень уравнения (8).

Перейдем к общему случаю. Пусть задается уравнениями

где лежит в некоторой области Пусть, для определенности, Гиперповерхность предполагается гладкой, т. е. ранг матрицы Якоби тождественно равен Задача Коши для уравнения (1) ставится так: найти решение уравнения такое, что

где — заданные гладкие функция и вектор-функция. Для данных Коши (12) должны выполняться два условия согласования.

Это следует из того, что значения функции и ее градиента на должны быть согласованы с уравнением (1),

Это следует из тождества инвариантности первого дифференциала. Такую задачу Коши

не всегда можно поставить: для этого требуется чтобы выполнялся аналог условия (9). Соответствующее условие имеет вид

где значения производных функции Я взяты в точке

Теорема. Пусть условия (13)-(15) выполнены. Тогда в малой окрестности точки задача Коши (1), (12) имеет решение и притом единственное.

Доказательство. Мы ограничимся случаем, когда есть гиперплоскость Рассмотрим семейство задач Коши

для характеристической системы (6). Здесь и У меняется в малой окрестности точки Решение задачи Коши (16) обозначим Это решение дважды непрерывно дифференцируемо по совокупности переменных в некоторой окрестности точки (гл. 2, § 7).

Фиксируем у и рассмотрим уравнение (7) вдоль соответствующей характеристики, т. е.

Данные Коши для функции определяются из (10); . Решение этой задачи Коши обозначим ); оно имеет вид

и потому дважды непрерывно дифференцируемо в области

Чтобы завершить доказательство теоремы, проверим следующие факты;

1. Переменные являются гладкими функциями от переменных

Напомним, что все наши рассмотрения носят локальный характер: х лежит в малой окрестности точки

Тогда — гладкая функция — гладкая вектор-функция х.

2. Справедливо тождество

3. Функция удовлетворяет уравнению (1). Рассмотрим систему из уравнений

относительно неизвестных Из данных Коши (16) имеем

так что

в точке . В этой же точке в силу условия (9). Следовательно, в указанной точке и утверждение 1 следует из теоремы об обратной функции (гл. 2, § 8). Докажем, что

Это следует из того, что функция первый интеграл гамильтоновой системы (6) (гл. 4, § 4). Остается доказать утверждение 2; его можно записать в виде

Эти тождества эквивалентны следующим:

где Первое из них следует из (7). Дифференцируя по первое из соотношений (18) и

дифференцируя по остальиые, получаем

Следовательно,

в силу (17). Так как

в силу определения функций то и (18) доказано. Тем самым существование решения задачи Коши доказано; его единственность следует из единственности решения задачи Коши для системы (6), (7).

В качестве примера рассмотрим уравнение эйконала

описывающее распространение световых лучей в однородной и изотропной среде. Здесь — постоянная (скорость света). Поверхности называются волновыми фронтами. Само слово «эйконал» означает «изображение» (сравните «икона»). Ограничимся случаем т. е.

и положим тогда уравнение (19) примет вид Характеристическая система (6) имеет вид а из (7) находим

Характеристики имеют вид

т. е. являются прямыми, расположенными в четырехмерном пространстве Их проекции на плоскость называются лучами; из (20) следует, что Згучи удовлетворяют системе

Покажем, что лучи ортогональны волновым фронтам. Действительно, вектор ортогонален линии в точке а в силу (20) направление луча совпадает с направлением градиента функции

Пусть — гладкая кривая и (т. е. Г — волновой фронт). Если — производные по касательной и по нормали к Г, то

Так как то либо либо Рассмотрим одну из этих двух задач Коши:

Значения (т. е. значение на Г находятся из системы

где — единичные касательный и нормальный к Г векторы.

Пример 1. Пусть Г — окружность, вектор направлен внутрь Г. Если точка лежит на Г, то

и из (24) находим Подставляя в (22) и интегрируя уравнение (21), получаем

Эти формулы дают представление эйконала в перемешдах

Исключая получаем

Таким образом, эйконал оказывается неоднозначной и, более того, негладкой (в начале координат) функцией. Проанализйруем картину лучей. Если меняется от 0 до то лучи уходят на бесконечность и не пересекаются. При лучи также не пересекаются, а волновые фронты — окружности радиуса при При все лучи сходятся в точку . Это явление называется фокусировкой лучей, а точка называется фокусом.

Исключив уравнение семейства лучей можно записать в виде

т. е. лучи образуют однопараметрическое семейство кривых. Найдем его огибающую (гл. 2, § 11), исключив из системы Тогда получим одну точку ;

в данном случае огибающая вырождается в точку.

Пример 2. Пусть Г — парабола Точки на Г можно представить как функции одного параметра . В данном примере

и из системы (20) находим

Далее, Функция S не может быть однозначной на всей плоскости, так как лучи могут пересекаться. Неоднозначность может возникнуть в тех точках, в которых нельзя выразить через однозначно; в этих точках должны нарушаться условия теоремы об обратной функции, т. е. должен обращаться в пуль якобиан:

Это приводит к следующему соотношению между

и из (25) находим, что искомые точки расположены на полу кубической параболе (рис. 41)

Рис. 41.

Эта кривая — эволюта исходной параболы Г.

Последний факт носит общий характер. Именно, если кривая Г — волновой фронт (т. е. то точки, в которых нарушается гладкость функции , расположены на эволюте кривой Г.

Уравнение (1) не содержит явно неизвестной функции. Рассмотрим уравнение первого порядка с частными производными самого общего вида:

В этом случае характеристическая система имеет вид

а по-прежнему удовлетворяет уравнению (7). Постановка задачи Коши и теорема существования и единственности формулируются точно так же, как и для уравнения (1).