§ 8. Функционалы от функций многих переменных

1. Уравнение Эйлера.

Рассмотрим функционал

Здесь — ограниченная область с гладкой границей Г.

Предположения. Функция дважды непрерывно дифференцируема по совокупности переменных, когда переменные

меняются в пределах от до Экстремум функциотшла ищется в классе функций, непрерывно дифференцируемых при .

При этих условиях первая вариация функционала существует; вычислим ее. Имеем

Точно так же, как и основная лемма (§ 3), доказывается Лемма. Пусть функция непрерывна при для любой функции непрерывно дифференцируемой при равной нулю на Тогда в области

Рассмотрим задачу от отыскании экстремума функционала при условии

где заданная непрерывная на Г функция. При это задача с закрепленными концами.

Теорема. Экстремаль и задачи с закрепленными концами удовлетворяет в области уравнению Эйлера

Доказательство. Допустимые приращения обращаются в нуль на Г. Преобразуем выражение (2) для первой вариации, проинтегрировав по частям:

Тогда получим

Первая вариация в точке экстремума обращается в нуль для любых допустимых приращений и из леммы вытекает уравнение (4).

Замечание. Как и при уравнение Эйлера выполняется и при других краевых условиях.