§ 3. Изменение фазового объема

1. Теорема Лиувилля.

Рассмотрим автономную систему из уравнений

Пусть — решение этой системы, которое есть дважды непрерывно дифференцируемая вектор-функция от переменных а в некоторой области; в этой области и производятся рассмотрения.

Лемма 1. Производная по параметру есть решение системы

Здесь матрица Якоби (гл. 2, § 9).

Доказательство. Дифференцируя обе части системы (1) по а и учитывая, что получаем

что и доказывает (2).

Система (2) называется системой в вариациях. Пусть решение известно; фиксируем Тогда

так что вектор-функция есть решение линейной однородной системы. Вычисление высших производных также сводится к решению линеиных систем дифференциальных уравнений.

Рассмотрим семейство решений системы (1), зависящее от параметров Будем предполагать, что эта вектор-функция дважды непрерывно дифференцируема по переменным в некоторой области, и введем обозначения

Лемма 2. Пусть . Тогда справедлива формула Лиувилля

Напомним, что дивергенцией (или расходимостью) векторного поля

называется функция

Доказательство. Из леммы 1 следует, что матрица удовлетворяет линеиному матричному уравнению

где Применяя формулу дифференцирования определителя (гл. 3, § 4, лемма 1), получаем

Замечаний. Рассмотрим неавтономную систему из уравнений

и пусть семейство решений этой системы. Положим

Тогда формула Лиувилля примет вид

где

Пусть — ограниченная область в фазовом пространстве, — область, полученная из области сдвигом за время вдоль фазовых траекторий системы (1), и объем этой области.

Теорема Лиувилля. Справедлива формула

где

Доказательство. Пусть — решение задачи Коши для системы (1), где Область — это множество точек вида где у пробегает область Воспользуемся обозначениями (3), тогда и из (4) следует, что при всех Имеем

так что

(применяем формулу

Следствие 1. Если

то фазовый поток сохраняет объем, т. е. при всех

Напомним, что векторное поле, удовлетворяющее условию (7), в области называется соленоидалъным, или полем без источников и стоков (в области D). В силу теоремы Гаусса — Остроградского поток соленоидального векторного поля через любую замкнутую гиперповерхность (внутренность которой содержится в области

5), равен нулю, так как

Здесь — элемент гиперповерхности и — единичный вектор внешней нормали к в точке х. Если интерпретировать векторное поле как поле скоростей частиц жидкости (§ 1, п. 2), то условие (7) означает, что жидкость несжимаема: объем элемента жидкости сохраняется.

Из (6) нетрудно выразить через . Особенно просто выглядит такая формула для линейной автономной системы

где А — постоянная -матрица. В этом случае , так что

Рассмотрим гамильтонову систему уравнений:

Функция называется функцией Гамильтона. Фазовое пространство гамильтоновой системы имеет размерность его точки имеют координаты

Следствие 2. Гамильтонова система сохраняет фазовый объем

Это вытекает из следствия 1, так как

Следствие 2 часто называют теоремой Лиувилля; она играет важную роль в статистической механике.