§ 2. Структура решений автономной системы в окрестности неособой точки
Рассмотрим автономную систему из 
уравнений
в малой окрестности 
точки а, отличной от положения равновесия: 
.
Выясним поведение решений системы (1) в окрестности точки а. Векторное поле локально устроено весьма просто: 
при близких к а, т. е. близкие векторы имеют примерно ту же длину и то же направление, что и 
Фазовые траектории в малом будут почти прямыми, и малая окрестность точки а расслаивается на непересекающиеся фазовые траектории. Покажем, что в области 
можно ввести такие координаты, в которых фазовые траектории будут прямыми линиями. Прежде чем приводить, строгие формулировки и доказательства, поясним выбор этих координат. Пусть 
, при 
траектория пересекает прямую 
в точке 
. Чтобы задать точку на траектории, необходимо задать еще время 
(рис. 24). Итак, точка на фазовой траектории вполне определяется заданием двух чисел 
с одной стороны, или заданием декартовых координат точки 
Геометрически очевидно, что соответствие 
в малом взаимно однозначно. Уравнение траектории в координатах 
есть 
, т. е. фазовая траектория в этих координатах — прямая линия (рис. 24).
Теорема. Пусть точка а не является положением равновесия системы (1). Тогда в малой окрестности точки а систему (1) с помощью гладкой замены переменных можно привести к виду.
Траектории системы (2) — прямые линии:
Далее, в силу того, что 
решение системы (1), имеем
так что матрица Якоби имеет вид
(* обозначены неизвестные нам числа). Поэтому 
и условия теоремы об обратной функции выполнены.
то можно, не ограничивая общности, считать, что 
. Проведем гиперплоскость П: 
ее точки имеют вид 
Пусть 
решение системы (1) такое, что
лежит на гиперплоскости П. Формула
имеем, что 
постоянны вдоль траектории 
ее уравнение в переменных у имеет вид
является гладкой, т. е. что выполняются условия теоремы об обратной функции. Имеем 
при замене (4). Вычислим матрицу Якоби вектор-функции 
при 
Имеем из (3)
