3. Теорема Коши.

Пусть — комплексное переменное; здесь х, у — вещественные числа, — мнимая единица. Рассмотрим вадачу Коши

для одного уравнения, где — комплекснозначная функция. Функция называется аналитической в точке если она разлагается в степенной ряд

сходящийся в некоторой окрестности этой точки. Аналитическая в точке функция аналитична в некотором круге вида Функция двух комплексных переменных называется аналитической в точке если она разлагается в двойной степенной ряд

сходящийся в некоторой окрестности точки

Теорема Коши. Пусть функция аналитична в точке Тогда задача Коши имеет решение аналитическое в точке и такое решение единственно.

Это решение строится так. Будем искать в виде ряда (12) с неопределенными коэффициентами Коэффициент находится из данных Коши: Подставим ряд (12) в ряд (13), тогда получим ряд по степеням и уравнепие (11) примет вид

Степенные ряды равны тогда и только тогда, когда

равны коэффициенты при всех степенях так что

Из этих соотношений можно последовательно найти коэффициенты как коэффициенты определяются однозначно, то тем самым доказана единственность аналитического решения. Доказательство сходимости построенного таким способом ряда для см. в [40].

Аналогичная теорема справедлива и для системы из уравнений:

Требуется, чтобы все компоненты вектор-функции были аналитичны в точке Тогда задача Коши (14) имеет решение все компоненты которого аналитичны в точке и такое решение единственно.