§ 9. Зависимые и независимые функции. Криволинейные координаты

1. Зависимые и независимые функции.

Пусть — область в .

Предположение 1. Все функции, которые рассматриваются в этом параграфе, непрерывно дифференцируемы в области

Функции называются зависимыми в области если одну из них можно выразить через остальные, т. е. при некотором

Здесь — непрерывно дифференцируемая функция. Если ни в какой подобласти функции не являются зависимыми, то они называются независимыми в области

Пример 1. Координатные функции независимы в любой области Функции зависимы в любой области

Вопрос о зависимости функций исследуется с помощью теоремы о неявной функции. Введем вектор-функцию и ее матрицу Якоби

Порядок матрицы и равен

Введем новые переменные связанные с переменными соотношениями

или, в векторной форме,

Определение 1. Замену переменных (3) будем называть гладкой обратимой в области если

1°. Вектор-функция взаимно однозначно отображает область на область V.

2°. Обратная вектор-функция

непрерывно дифференцируема в области V.

В области вместо координат можно ввести координаты так как соответствие между х и у взаимно однозначно. Поэтому функции

функции будем называть координатными. Достаточные условия для того, чтобы функции были координатными в малой окрестности данной точки, дает теорема об обратной функции.

Лемма 1. Зависимость и независимость системы функций инвариантны относительно гладкой обратимой замены переменных.

Доказательство. Функции после замены (3) переходят в функции Утверждение леммы состоит в том, что если функции были зависимы (независимы) в области то функции будут зависимы (независимы) в области V. Допустим, что функции их зависимы в области тогда при некотором выполняется тождество (1). Выражая х через получаем

так что функции зависимы в области

Теорема 1. Пусть ранг матрицы Якоби и не превосходит в области и равен точке Тогда в некоторой окрестности из набора функций можно выбрать независимых, а остальные будут от них зависимы.

Доказательство. Пусть определенности отличен от нуля минор

очевидно, что Сделаем замену переменных

Покажем, что эта замена гладкая и обратимая, если область достаточно мала. Матрица Якоби вектор-функции равна

где единичная и нулевая матрицы порядков соответственно. Поэтому и условия теоремы об обратной функции выполнены. В частности, функции независимы в области так как независимы функции

Покажем, что остальные функции можно выразить через функции . Докажем это для функции . В переменных у вектор-функция принимает вид причем ранг матрицы Якоби равен рангу матрицы Якоби при (§ 9). Имеем

Так как ранг матрицы не превосходит то

и потому функция не зависит от переменных Следовательно,

т. е. функция зависит от функций . В силу леммы 1 функция зависит от функций

Следствие 1. Пусть и ранг матрицы Якоби и равен хотя бы в одной точке Тогда функции независимы в области

Действительно, они независимы в некоторой окрестности точки а потому, в силу определения независимости функций, и во всей области

Следствие 2. Пусть и ранг матрицы Якоби равен Тогда в некоторой окрестности точки к набору функций их можно добавить функций так, что полученный набор функций будет координатным.

Это вытекает из доказательства теоремы: см. (5). Замечание 1. Координатные функции независимы в области Обратное неверно: независимые в области функции не всегда можно принять в качестве координатных.

Пример 2. Пусть — окрестность точки Эти функции независимы в так как их матрица Якоби диагональная, с элементами Загц на диагонали, и ее определитель отличен от нуля в любой точке такой, что Но так что обратная вектор-функция недифференцируема на осях