Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше
Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике
§ 9. Зависимые и независимые функции. Криволинейные координаты
1. Зависимые и независимые функции.
Пусть — область в .
Предположение 1. Все функции, которые рассматриваются в этом параграфе, непрерывно дифференцируемы в области
Функции называются зависимыми в области если одну из них можно выразить через остальные, т. е. при некотором
Здесь — непрерывно дифференцируемая функция. Если ни в какой подобласти функции не являются зависимыми, то они называются независимыми в области
Пример 1. Координатные функции независимы в любой области Функции зависимы в любой области
Вопрос о зависимости функций исследуется с помощью теоремы о неявной функции. Введем вектор-функцию и ее матрицу Якоби
Порядок матрицы и равен
Введем новые переменные связанные с переменными соотношениями
или, в векторной форме,
Определение 1. Замену переменных (3) будем называть гладкой обратимой в области если
1°. Вектор-функция взаимно однозначно отображает область на область V.
2°. Обратная вектор-функция
непрерывно дифференцируема в области V.
В области вместо координат можно ввести координаты так как соответствие между х и у взаимно однозначно. Поэтому функции
функции будем называть координатными. Достаточные условия для того, чтобы функции были координатными в малой окрестности данной точки, дает теорема об обратной функции.
Лемма 1. Зависимость и независимость системы функций инвариантны относительно гладкой обратимой замены переменных.
Доказательство. Функции после замены (3) переходят в функции Утверждение леммы состоит в том, что если функции были зависимы (независимы) в области то функции будут зависимы (независимы) в области V. Допустим, что функции их зависимы в области тогда при некотором выполняется тождество (1). Выражая х через получаем
так что функции зависимы в области
Теорема 1. Пусть ранг матрицы Якоби и не превосходит в области и равен точке Тогда в некоторой окрестности из набора функций можно выбрать независимых, а остальные будут от них зависимы.
Доказательство. Пусть определенности отличен от нуля минор
очевидно, что Сделаем замену переменных
Покажем, что эта замена гладкая и обратимая, если область достаточно мала. Матрица Якоби вектор-функции равна
где единичная и нулевая матрицы порядков соответственно. Поэтому и условия теоремы об обратной функции выполнены. В частности, функции независимы в области так как независимы функции
Покажем, что остальные функции можно выразить через функции . Докажем это для функции . В переменных у вектор-функция принимает вид причем ранг матрицы Якоби равен рангу матрицы Якоби при (§ 9). Имеем
Так как ранг матрицы не превосходит то
и потому функция не зависит от переменных Следовательно,
т. е. функция зависит от функций . В силу леммы 1 функция зависит от функций
Следствие 1. Пусть и ранг матрицы Якоби и равен хотя бы в одной точке Тогда функции независимы в области
Действительно, они независимы в некоторой окрестности точки а потому, в силу определения независимости функций, и во всей области
Следствие 2. Пусть и ранг матрицы Якоби равен Тогда в некоторой окрестности точки к набору функций их можно добавить функций так, что полученный набор функций будет координатным.
Это вытекает из доказательства теоремы: см. (5). Замечание 1. Координатные функции независимы в области Обратное неверно: независимые в области функции не всегда можно принять в качестве координатных.
Пример 2. Пусть — окрестность точки Эти функции независимы в так как их матрица Якоби диагональная, с элементами Загц на диагонали, и ее определитель отличен от нуля в любой точке такой, что Но так что обратная вектор-функция недифференцируема на осях