§ 12. Линейные разностные уравнения

Пусть имеется последовательность члены которой связаны соотношениями

где — заданные числа, . Такие последовательности называются рекуррентными (или возвратными), а соотношение (1) называется однородным линейным разностным уравнением порядка к. Более точно, его называют разностным уравнением с постоянными коэффициентами. Свойства уравнения (1) полностью аналогичны свойствам линейного дифференциального уравнения порядка к с постоянными коэффициентами:

В частности, справедлив принцип суперпозиции: если последовательности удовлетворяют уравнению (1), то ему же удовлетворяет последовательность где — произвольные постоянные.

Ясно, что задав первые к членов по формуле (1) можно последовательно найти

Решим уравнение (1). Будем искать частное решение в виде

где — неизвестное число. Подставляя в (1) и сокращая на получаем уравнение

которое называется характеристическим. Тем самым доказано, что если — корень характеристического уравнения, то последовательность есть решение разностного уравнения (1).

Пусть корни характеристического уравнения различны, тогда последовательность

где — произвольные постоянные, будет решением уравнения (1). Более того, все решения этого уравнения даются формулой (5) (см. [19, 43]). Теперь аналогия между разностным уравнением (1) и дифференциальным уравнением (2) становится очевидной (сравните (5) и теорему 1, § 5). Все решения уравнения (1) можно найти и в том случае, если характеристическое уравнение имеет кратные корни.

Пример 1. Найдем член последовательности Фибоначчи

Характеристическое уравнение есть его корни равны так что

Полагая находим и последовательность имеет вид

Пример 2. Найдем коэффициенты ряда Тейлора

Выведем рекуррентные соотношения для коэффициентов из тождества

откуда находим

при Положим тогда рекуррентное соотношение будет выполняться при всех Из характеристического уравнения находим

Следовательно,

Полагая получаем

так что

Линейные разностные уравнения возникают, например, при численном интегрировании обыкновенных дифференциальных уравнений.

Рассмотрим простейшее уравнение

где а — постоянная, с начальными данными Это решение равно Зададим число и заменим производную приближенно отношением , считая шаг достаточно малым. Тогда получим вместо (6) уравнение

Положим получим разностное уравнение первого порядка:

так что Рассмотрим уравнение (6) на отрезке [0, 1] и возьмем шаг Тогда получим

Поэтому стремится к при т. е. к значению точного решения. Если коэффициент а зависит от , то мы получим разностное уравнение с переменным коэффициентом:

где При аппроксимации дифференциальных уравнений возникают также разностные уравнения более высоких порядков [19, 43].